曲線の長さ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/31 14:32 UTC 版)
詳細は「弧長」を参照 I 上の可微分曲線 α(t) = (φ(t), ψ(t)) と区間 [a, b] ⊂ I に対し、曲線の α(a) から α(b) までの弧長とは L ( α ) := ∫ a b ‖ α ′ ( t ) ‖ d t = ∫ a b ϕ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 d t {\displaystyle L(\alpha ):=\int _{a}^{b}\|\alpha '(t)\|{\mathit {dt}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}\;{\mathit {dt}}} で与えられる 弧長は媒介変数の取り換えに関して不変である。すなわち、β(s) := α(t(s)) (t: J → I; s ↦ t := t(s)) を媒介変数の取り換えとすれば、 L ( α ) = ∫ a b ‖ α ′ ( t ) ‖ d t = ∫ a b ‖ β ′ ( s ) ‖ d s = L ( β ) {\displaystyle L(\alpha )=\int _{a}^{b}\|\alpha '(t)\|{\mathit {dt}}=\int _{a}^{b}\|\beta '(s)\|{\mathit {ds}}=L(\beta )} が成り立つ。 曲線が y = f(x) と陽に与えられれば、x′ = 1 かつ df/dx = dy/dx となるから、弧長を L = ∫ a b 1 + ( d y d x ) 2 d x {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Big )}^{2}}}\;{\mathit {dx}}} と書くことができる。 媒介変数の取り方として数学および幾何学的研究および応用において重要と考えられるものの一つに、平面極座標が挙げられる。曲線の極座標表示が r := r(θ) (c ≤ θ ≤ d) で与えられれば、直交座標系における θ に関する媒介変数表示は { ϕ ( θ ) := r ( θ ) cos θ ψ ( θ ) := r ( θ ) sin θ {\displaystyle {\begin{cases}\phi (\theta ):=r(\theta )\cos \theta \\\psi (\theta ):=r(\theta )\sin \theta \end{cases}}} で与えられ、これらの微分は { ϕ ′ ( θ ) = r ′ ( θ ) cos θ − r ( θ ) sin θ ψ ′ ( θ ) = r ′ ( θ ) sin θ + r ( θ ) cos θ {\displaystyle {\begin{cases}\phi '(\theta )=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \\\psi '(\theta )=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta \end{cases}}} となるから、さらに弧長は L = ∫ c d ϕ ′ ( θ ) 2 + ψ ′ ( θ ) 2 d θ = ∫ c d r ( θ ) 2 + r ′ ( θ ) 2 d θ = ∫ c d r ( θ ) 2 + ( d y d x ) 2 d θ {\displaystyle L=\int _{c}^{d}{\sqrt {\phi '(\theta )^{2}+\psi '(\theta )^{2}}}\;{\mathit {d\theta }}=\int _{c}^{d}{\sqrt {r(\theta )^{2}+r'(\theta )^{2}}}\;{\mathit {d\theta }}=\int _{c}^{d}{\sqrt {r(\theta )^{2}+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Big )}^{2}}}\;{\mathit {d\theta }}} と書ける。
※この「曲線の長さ」の解説は、「平面曲線」の解説の一部です。
「曲線の長さ」を含む「平面曲線」の記事については、「平面曲線」の概要を参照ください。
曲線の長さ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/25 06:43 UTC 版)
詳細は「弧長」を参照 X を n-次元ユークリッド空間 Rn とし、曲線 γ: [a, b] → X は単射かつ連続的微分可能とすれば、γ の長さ (length) とは Length ( γ ) := ∫ a b | γ ′ ( t ) | d t {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma ):=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|{\mathit {dt}}} で定義される量を言う。曲線の長さは γ のパラメータの取り方に依らないことに注意せよ。特に、閉区間 [a, b] 上定義された連続的微分可能函数 y = f(x) のグラフ の長さ s は s = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,{\mathit {dx}}} で与えられる。より一般に X が距離函数 d を持つ距離空間とすれば、曲線 γ: [a, b] → X の長さは Length ( γ ) := sup { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) : n ∈ N , a = t 0 < t 1 < … < t n = b } {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma ):=\sup \!{\Big \{}\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1})):n\in \mathbb {N} ,a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b{\Bigr \}}} と定義できる。ただし、上限 sup は任意の自然数 n と [a, b] の任意の分割に亘ってとる。 求長可能曲線 (rectifiable curve) とは長さが有限な曲線（有限長曲線）を言う。曲線 γ: [a, b] → X が自然（または単位速さもしくは速さ 1）あるいは弧長パラメータを持つとは、任意の t1, t2 ∈ [a, b] (t1 ≤ t2) に対して Length ( γ | [ t 1 , t 2 ] ) = t 2 − t 1 {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma |_{[t_{1},t_{2}]})=t_{2}-t_{1}} が成り立つことを言う。γ: [a, b] → X がリプシッツ連続函数ならば、曲線 γ は自動的に求長可能である。さらに言えば、このとき γ の速さ (speed) または距離微分が Speed γ ( t ) := lim sup [ a , b ] ∋ s → t d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle \operatorname {Speed} _{\gamma }(t):=\limsup _{[a,b]\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}} と定義できて、 Length ( γ ) = ∫ a b Speed γ ( t ) d t {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t){\mathit {dt}}} が示される。
※この「曲線の長さ」の解説は、「曲線」の解説の一部です。
「曲線の長さ」を含む「曲線」の記事については、「曲線」の概要を参照ください。
- 曲線の長さのページへのリンク
