曲線を使った幾何的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/11 00:25 UTC 版)
固有性の付値判定法がなぜ成り立つのかを直感的に教えてくれる同様の例がもう１つある。曲線 C {\displaystyle C} と、それから1点を除いた C − { p } {\displaystyle C-\{p\}} を考える。そのとき、固有性の付値判定法は、次の図式 C − { p } → X ↓ ↓ C → Y {\displaystyle {\begin{matrix}C-\{p\}&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\C&\rightarrow &Y\end{matrix}}} で持上げ C → X {\displaystyle C\to X} があることと固有であることは同値だと言っている。幾何学的には、持上げが存在するとはスキーム X {\displaystyle X} に含まれる任意の曲線は欠けている点を埋めてコンパクトな曲線に完成させることができるということである。位相空間の間の連続写像のファイバーがコンパクトであれば、そのファイバーの中の点列は必ず収束する。上記はこれのスキーム理論での類似物と解釈できる。この幾何的な状況で、問題は局所的であるから、図式において 局所環 O C , p {\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}} （これは離散付値環）とその商体 Frac ( O C , p ) {\displaystyle {\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})} に置き換える。すると、持上げの問題は次の可換図式 Spec ( Frac ( O C , p ) ) → X ↓ ↓ Spec ( O C , p ) → Y {\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}} の持上げの問題になるが、これが固有性の付値判定法における状況であった。スキーム Spec ( Frac ( O C , p ) ) {\displaystyle {\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))} は p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} のまわりの閉点 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} を除いた局所円板と思える。
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