固有性の付値判定法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/11 00:25 UTC 版)
シュヴァレーに遡る、固有性の付値判定法と呼ばれる非常に直感的な固有性の判定法がある。f: X → Y をネータースキーム間の有限型射とする。このとき、f が固有であるための必要十分条件は、R を任意の離散付値環、K をその商体、x ∈ X(K) を K 値点とするとき、像 f(x) が R 上定義されるならば一意的な持上げ x ¯ ∈ X ( R ) {\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)} が存在することである。より一般に、任意のスキーム X と Y の間の有限型の準分離射 f: X → Y（有限型なら準コンパクトであることに注意）が固有であるための必要十分条件は、R を任意の付値環、K をその商体、x ∈ X(K) を K 値点とするとき、像 f(x) が R 上定義されるならば一意的な持上げ x ¯ ∈ X ( R ) {\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)} が存在することである。離散付値環とは1次元の正則局所環に他ならず、Spec K は Spec R の生成点（英語版）であることに注意すると、この判定法を次のように言い換えることができる。Y 上の正則な曲線（射 s: Spec R → Y に対応）とこの曲線の生成点の X への持上げが与えられたとき、f が固有であるための必要十分条件はこの曲線を完成（complete）させる方法がただ１つ存在することである。 同様に、f が分離的であることと、全てのこのような図式に置いて持上げ x ¯ ∈ X ( R ) {\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)} が多くとも1つしかないこととは同値である。 この判定法を用いると、例えば射影空間 Pn が体（Z でもよい）上固有であることが簡単に示せる。R を離散付値環、K をその商体とし、射影空間の任意の K 点 [x0,...,xn] を取る。これは定数倍することで座標が全て R に入り、かつ少なくとも１つが R の単数になるようにできるので、R 点から来ており、判定法の条件が満たされている。
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