距離微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/04 17:04 UTC 版)
数学の解析学の分野における距離微分（きょりびぶん、英: metric differential）とは、あるユークリッド空間上で定義され任意の距離空間に値を取るようなリプシッツ連続関数に対する、微分の概念の一般化である。この微分の定義のもとで、距離空間に値を取るリプシッツ関数へと、ラーデマッヘルの定理を一般化することが出来る。
議論
ラーデマッヘルの定理では、リプシッツ写像 f : Rn → Rm は Rn 内のほとんど至る所で微分可能であることが示されていた。これはつまり、ほとんど全ての x に対して、x の十分小さい任意の範囲において f は近似的に線型であることを意味する。しかしもしも f が距離空間 X に値を取るようなユークリッド空間 Rn 上の関数であるなら、微分可能性について論じることは直ちに意義のあることとはならない。なぜならば、X は先験的には線型構造を持たないことが知られているからである。たとえ X がバナッハ空間であるとか、フレシェ微分がほとんど至る所で存在する、などのことを仮定したとしても、そのような微分可能性は成り立たない。例えば、単位区間から可積分関数の空間への写像 f : [0,1] → L1([0,1]) を、f(x) = χ[0,x] と定義すると、
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