球面上の曲線の長さ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:08 UTC 版)
単位球面の赤道は、次の式で与えられる媒介変数表示された曲線である。 ( u ( t ) , v ( t ) ) = ( t , π 2 ) {\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})} t の範囲は 0 から 2π である。線素は曲線の長さを計算するために用いられることもある。 ∫ 0 2 π E ( d u d t ) 2 + 2 F d u d t d v d t + G ( d v d t ) 2 d t = ∫ 0 2 π | sin v | d t = 2 π sin π 2 = 2 π {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi }
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