数学的特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/17 06:35 UTC 版)
ラプラス作用素は、合同変換と可換である。すなわち、任意のC∞級関数φ : Rn → Rと任意の合同変換Tに対し、 Δ ( φ ( T ( x ) ) ) = T ( Δ ( φ ( x ) ) ) {\displaystyle \Delta (\varphi (T(x)))=T(\Delta (\varphi (x)))} が成立する。 しかもラプラス作用素は、上記の性質を満たす非自明な微分演算子で最も簡単なものとして特徴づけることができる。これを説明する為、記号を導入する。Rを実数の集合とし、n個の実数からなる組の集合をRnとする。x=(x1,…,xn)∈Rnとn個の非負整数の組α=(α1,…,αn)に対し、 ∂ ∂ x α := ∂ n ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n , {\displaystyle {\partial \over \partial x^{\alpha }}:={\partial ^{n} \over \partial x_{1}{}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}{}^{\alpha _{n}}},} | α | := α 1 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |:=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}} と表記する。微分演算子 D := ∑ α : | α | ≤ k a α ∂ ∂ x α {\displaystyle D:=\sum _{\alpha :|\alpha |\leq k}a_{\alpha }{\partial \over \partial x^{\alpha }}} が任意のC∞級関数φ : Rn → Rと向きを保つ任意の合同変換Tに対し、 D ( φ ( T ( x ) ) ) = T ( D ( φ ( x ) ) ) {\displaystyle D(\varphi (T(x)))=T(D(\varphi (x)))} が成立していたとする。このとき、実数係数の1変数多項式p(X)=Σm umXmが存在し、 D = p ( Δ ) = ∑ m u m Δ m {\displaystyle D=p(\Delta )=\sum _{m}u_{m}\Delta ^{m}} が成立する。 よってラプラス作用素は、合同変換に対して不変な微分演算子の中で、自明なもの（＝恒等的に0を対応させる微分演算子）を除けば最も簡単なものである。
※この「数学的特徴づけ」の解説は、「ラプラス作用素」の解説の一部です。
「数学的特徴づけ」を含む「ラプラス作用素」の記事については、「ラプラス作用素」の概要を参照ください。
- 数学的特徴づけのページへのリンク
