慣性座標系の数学的特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
「特殊相対性理論」の記事における「慣性座標系の数学的特徴づけ」の解説
原点Oを通る観測者から見た慣性座標系を一つ固定すると、前述のようにその慣性座標系における二つの位置ベクトル間のミンコフスキー内積は η ( ( c t , x , y , z ) , ( c t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) ) = ( c t ) ⋅ ( c t ′ ) − x x ′ − y y ′ − z z ′ {\displaystyle \eta ((ct,x,y,z),(ct',x',y',z'))=(ct)\cdot (ct')-xx'-yy'-zz'} (M1) と書ける。このような座標系で、 e → 0 := ( 1 0 0 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{0}:={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}} 、 e → 1 := ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{1}:={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}} 、 e → 2 := ( 0 0 1 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{2}:={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}} 、 e → 3 := ( 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{3}:={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}} と定義すると、e→0、e→1、e→2、e→3 はあきらかにミンコフスキー空間の基底であり、しかも η ( e → μ , e → ν ) = { 1 if μ = ν = 0 − 1 if μ = ν ≠ 0 0 otherwise {\displaystyle \eta ({\vec {e}}_{\mu },{\vec {e}}_{\nu })={\begin{cases}1&{\text{if}}\ \mu =\nu =0\\-1&{\text{if}}\ \mu =\nu \neq 0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} (M2) を満たす。 ユークリッド空間の類似から(M2)式を満たす基底 e→0、e→1、e→2、e→3 を正規直交基底と呼ぶ事にすると、慣性座標系から正規直交基底が1つ定まった事になる。e→0 をこの基底の時間成分といい、e→1、e→2、e→3 をこの基底の空間成分という。 逆に(M2)式の意味で正規直交基底である e→0、e→1、e→2、e→3 を一つ任意に選び、この基底における座標の成分表示を (ct, x, y, z) と書くことにすると、ミンコフスキー内積が(M1)式を満たすことを簡単に確認できる。 以上の議論から、原点にいる観測者の慣性座標系と正規直交基底は1対1に対応する事がわかる。従って以下両者を同一視する。 ただし、正規直交基底の中には、e→0 が過去の方向を向いていたり、e→1、e→2、e→3 が左手系だったりするものもあるので、このようなものは以下除外して考えるものとする。
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