ウィグナー関数とは？わかりやすく解説

ウィグナー関数（ウィグナーかんすう、英: Wigner function）とは、ユージン・ウィグナーにより1932年に導入された^[1]、古典統計力学を量子補正するための関数である。その目標は、シュレーディンガー方程式に表われる波動関数を位相空間上の確率分布と結びつけることであった。ウィグナーの擬確率分布関数（英: Wigner quasiprobability distribution）、ウィグナー・ビレ分布 (英: Wigner–Ville distribution) とも。

「ウィグナー分布」も参照

ウィグナー関数は量子力学的波動関数 $ψ (x)$ のすべての空間的自己相関の母関数である。従って、ウィグナー関数と密度行列との間の写像^[2]により、実位相空間上の関数とヘルマン・ワイルが1927年に導入した^[3]エルミート演算子とを表現論的な文脈で対応づけられる(ワイル量子化（英語版）)。ウィグナー関数は密度行列をウィグナー・ワイル変換（英語版）したものとみなすことができ、よって密度行列の位相空間上での表現とみなせる。1948年、ジャン・ビレ（フランス語版）によって独立にスペクトログラムの一種、信号エネルギーの局所時間・周波数表示方法として再導入された^[4]。

1949年、ホセ・エンリケ・モヤル（英語版）は量子化された運動量の母関数としてウィグナー関数を再導入し^[5]、これを用いて全ての量子期待値を計算する方法を確立し、位相空間上における量子力学の基礎を築いた（位相空間表示（英語版）を参照）。統計力学、量子化学、量子光学、古典光学、および電子工学、地震学、音楽の時間周波数解析、生物学のスペクトログラム、音声合成、エンジンの設計など、信号処理を伴う幅広い分野で応用されている。

古典力学との関係

古典力学的には、粒子は決まった位置と運動量を持ち、その運動状態は位相空間上の一点により表現される。多数の粒子の集合体が与えられたとき、位相空間内の特定の領域に粒子をみいだす確率はリウビル確率密度と呼ばれる確率密度関数に従う。しかし、このような決定論的な取扱いは量子力学的な粒子に対しては不確定性原理のために不可能である。ウィグナー関数は古典的な確率密度分布と同様に取り扱うことができるが、ウィグナー関数は古典的な確率密度関数の満すべき条件を全て満たしてはいない。そのかわり、古典的な分布が必ずしも満たさない有界性を満たしている。

たとえば、ウィグナー関数は古典的分布ではありえない負値をとることがよくある。そして、ウィグナー関数が負値をとることは量子干渉が起きていることを示す指標である。ウィグナー関数にディラック定数 $ħ$ よりも小さな位相空間体積における構造を無視するような処理(たとえば伏見表示（後述)を得るために位相空間上のガウス関数で畳み込むなど）を施すと、半正定値関数となり半古典形式に粗視化できる^{[注 1]}。

負の値をとる領域が存在しても、（幅の小さいガウス関数と畳み込んだ場合）多くの場合その領域は「小さく」なる。つまり、その領域は $ħ$ の数倍より大きくなることはなく、そのため古典極限（英語版）においては消滅する。これは、位相空間上で $ħ$ よりも小さな体積をもつ領域に粒子の運動状態を特定することはできないとする不確定性原理による遮蔽であり、「負の確率」という概念の矛盾を軽減している。

定義と意味

$ψ$ を波動関数とし、 $x, p$ をそれぞれ位置および運動量、または他の正準共役量（例えば電磁場の実部および虚部、もしくは信号における時間と周波数など)とすると、ウィグナー関数 $P (x, p)$ は以下のように定義される。

$P(x,p)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,\mathrm {d} y\,$

図1: それぞれ a) 真空、 b)

n = 1

のフォック状態 (例：単一光子)、 c)

n = 5

のフォック状態、のウィグナー関数。

$P (x, p)$ は実関数である。

x

および

p

の確率密度関数は次の周辺確率により与えられる。

\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle

[6] この畳み込みは可逆であるため、情報は全く失われておらず、量子エントロピーは増加していない。

[9] Quantum characteristics とファインマンの経路積分やド・ブロイ-ボーム理論におけるトラジェクトリを混同しないように注意。この三つ巴の曖昧さから、ニールス・ボーアの立場をより理解できるだろう。彼は熱心に原子物理学におけるトラジェクトリへの言及に反対していた。例えば、1948年のポコノ会議において彼はリチャード・ファインマンに対して「…原子内の電子のトラジェクトリについて議論することはできない。なぜなら観測できないからである」 ("The Beat of a Different Drum: The Life and Science of Richard Feynman", by Jagdish Mehra (Oxford, 1994, pp. 245-248))と言っている。このような議論はエルンスト・マッハがかつて原子論を批判した際や、1960年代にジェフリー・チュー（英語版）やトゥーリオ・レッジェらが局所的量子場理論をS行列で置き換えようとした際などに広く用いられた論法である。今日では、完全に原子論的概念に基いた統計物理学が標準的に教えられているし、S行列理論は時代遅れになっているのに対してファインマンの経路積分法はゲージ理論において最も効率的な手法であるとみなされている。

[22] 繰り返しになるが、密度行列からウィグナー関数への変換は可換であり情報は失なわれておらず、近似ではない。

[1] Wigner, E. P. (June 1932). “On the quantum correction for thermodynamic equilibrium”. Phys. Rev. 40: 749-759. doi:10.1103/PhysRev.40.749.

[2] Groenewold, H. J. (1946). “On the Principles of elementary quantum mechanics”. Physica 12: 405–460. doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4.

[3] Weyl, H. (1927). “Quantenmechanik und Gruppentheorie” (ドイツ語). Z. Phys. 46: 1-46. ; Weyl, H. (1928) (ドイツ語). Gruppentheorie und Quantenmechanik. Leipzig: Hirzel ; Weyl, H. (1931) (英語). The Theory of Groups and Quantum Mechanics. New York: Dover

[4] Ville, J. (1948). “Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique” (フランス語). Câbles et Transmissions 2: 61–74.

[5] Moyal, J. E. (1949). “Quantum mechanics as a statistical theory”. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 45: 99–124. doi:10.1017/S0305004100000487.

[7] Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2012). “Quantum Mechanics in Phase Space”. Asia Pacific Physics Newsletter 1: 37. doi:10.1142/S2251158X12000069. ; Zachos, C., ed (2005). Quantum Mechanics in Phase Space. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-238-384-6

[8] Curtright, T. L. (2012年). “Time-dependent Wigner Functions”. 2015年11月28日閲覧。

[10] Leaf, B. (1968). “Weyl Transform in Nonrelativistic Quantum Dynamics”. J. Math. Phys 9: 769-781. doi:10.1063/1.1664640.

[11] Marinov, M. S. (1991). “A new type of phase-space path integral”. Phys. Lett. A 153: 5–11. doi:10.1016/0375-9601(91)90352-9.

[OlshanetskyVainshtein2002-12] Segev, B.. “Evolution kernels for phase space distributions”. In M. A. Olshanetsky; Arkady Vainshtein. Multiple Facets of Quantization and Supersymmetry: Michael Marinov Memorial Volume. World Scientific. pp. 68–90. ISBN 978-981-238-072-2 2015年11月28日閲覧。特に86-89ページの5節 "Path integral for the propagator" を参照。

[13] Zurek, Wojciech H. (2002). “Decoherence and the transition from quantum to classical - revisited”. Los Alamos Science 27: 86-109. arXiv:quant-ph/0306072.

[14] Zachos, C., ed (2005). “an overview with selected papers”. Quantum Mechanics in Phase Space. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-238-384-6

[15] Denys I. Bondar, Renan Cabrera, Dmitry V. Zhdanov, Herschel A. Rabitz: Wigner Function's Negativity Demystified arXiv:1202.3628 (submitted February 2012, version of 3 November 2012)

[16] Renan Cabrera, Denys I. Bondar, Herschel A. Rabitz: Relativistic Wigner function and consistent classical limit for spin 1/2 particles, arXiv:1107.5139v2 (submitted on 26 July 2011, version of 22 August 2012)

[17] Nuno Costa Dias; Joao Nuno Prata (2002). “Bohmian trajectories and quantum phase space distributions”. Physics Letters A 302: 261-272. arXiv:quant-ph/0208156v1. doi:10.1016/S0375-9601(02)01175-1. (submitted 26 August 2002)

[18] Hiley, B. J. (2003). “Phase space descriptions of quantum phenomena”. In Khrennikov, A. (pdf). Quantum Theory: Re-consideration of Foundations–2,. Sweden: Växjö University Press. pp. 267-286

[19] B. Hiley: Moyal's characteristic function, the density matrix and von Neumann's idempotent (preprint) arXiv:1408.5680

[20] F.C. Khanna, P.A. Mello, M. Revzen, Classical and Quantum Mechanical State Reconstruction, arXiv:1112.3164v1 [quant-ph] (submitted December 14, 2011)

[21] Heisenberg, W. (1931). “Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen” (ドイツ語). Physik. Zeitschr 32: 737–740. ; Dirac, P. A. M. (1930). “Note on exchange phenomena in the Thomas atom”. Proc. Camb. Phil. Soc. 26: 376–395. doi:10.1017/S0305004100016108.

[23] Ann Moyal (2006). Maverick Mathematician: The Life and Science of J.E. Moyal. ANU E-press. ISBN 1-920942-59-9

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[2]

[3]

[4]

[5]

[注 1]

[7]

[19]

[注 3]

[20]

ウィグナー関数とは？わかりやすく解説