時間発展
時間発展
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 21:50 UTC 版)
量子ウォークの時間発展作用素は U = S C {\displaystyle U=SC} で定義される 。ここで、 C = ⨁ x ∈ Z H {\displaystyle C=\bigoplus _{x\in \mathbb {Z} }H} はコイン作用素と呼ばれる作用素である 。但し、 H {\displaystyle H} は H C {\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}} 上のユニタリ作用素で、量子コインと呼ばれる 。また、 S {\displaystyle S} はシフト作用素と呼ばれる作用素で、 S | x , J ⟩ = { | x + 1 , R ⟩ : J = R | x − 1 , L ⟩ : J = L {\displaystyle S|x,J\rangle ={\begin{cases}|x+1,R\rangle &:J=R\\|x-1,L\rangle &:J=L\end{cases}}} を満たす 。但し、 | x , J ⟩ := | x ⟩ ⊗ | J ⟩ ∈ H P ⊗ H C {\displaystyle |x,J\rangle :=|x\rangle \otimes |J\rangle \in {\mathcal {H}}_{P}\otimes {\mathcal {H}}_{C}} である 。 量子ウォークでは、初期状態 Ψ 0 ∈ H {\displaystyle \Psi _{0}\in {\mathcal {H}}} （但し、 | | Ψ 0 | | = 1 {\displaystyle ||\Psi _{0}||=1} とする）を与え、以下のように H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のユニタリ作用素 U {\displaystyle U} を繰り返し作用させる 。 Ψ 0 ↦ U Ψ 1 ↦ U Ψ 2 ↦ U ⋯ {\displaystyle \Psi _{0}{\stackrel {U}{\mapsto }}\Psi _{1}{\stackrel {U}{\mapsto }}\Psi _{2}{\stackrel {U}{\mapsto }}\cdots } つまり、 Ψ n = U n Ψ 0 ( n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle \Psi _{n}=U^{n}\Psi _{0}\quad (n=0,1,2,\ldots )} によって時間発展を定義する 。ここで、 U {\displaystyle U} のユニタリ性からノルムが保存され、 | | Ψ n | | 2 = 1 {\displaystyle ||\Psi _{n}||^{2}=1} が全ての時刻 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots } で成り立つ 。時刻 n {\displaystyle n} での状態 Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} の x ( ∈ Z ) {\displaystyle x(\in \mathbb {Z} )} 成分を Ψ n ( x ) = T [ Ψ n ( L ) ( x ) , Ψ n ( R ) ( x ) ] {\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}_{n}(x)={}^{T}[\Psi _{n}^{(L)}(x),\Psi _{n}^{(R)}(x)]} と書くことにする 。このとき、 Ψ n ( J ) ( x ) ∈ C {\displaystyle \Psi _{n}^{(J)}(x)\in \mathbb {C} } は量子ウォークの時刻 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 、場所 x ∈ Z {\displaystyle x\in \mathbb {Z} } 、カイラリティ J ∈ { L , R } {\displaystyle J\in \{L,R\}} の確率振幅と呼ばれる 。さらに、 | L ⟩ , | R ⟩ ∈ H C {\displaystyle |L\rangle ,|R\rangle \in {\mathcal {H}}_{C}} を | L ⟩ ≅ T [ 1 , 0 ] {\displaystyle |L\rangle \cong {}^{T}[1,0]} 、 | R ⟩ ≅ T [ 0 , 1 ] {\displaystyle |R\rangle \cong {}^{T}[0,1]} と表現したときの、量子コイン H {\displaystyle H} の行列表現を H = [ a b c d ] {\displaystyle H={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} として、 H = P + Q {\displaystyle H=P+Q} となるように P = [ a b 0 0 ] , Q = [ 0 0 c d ] , {\displaystyle P={\begin{bmatrix}a&b\\0&0\end{bmatrix}},\;Q={\begin{bmatrix}0&0\\c&d\end{bmatrix}},} を考えると、量子ウォークの時間発展と等価な表現として、 Ψ n ( x ) = Q Ψ n − 1 ( x − 1 ) + P Ψ n − 1 ( x + 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}_{n}(x)=Q{\boldsymbol {\Psi }}_{n-1}(x-1)+P{\boldsymbol {\Psi }}_{n-1}(x+1)} が得られる 。これは、量子ウォークがランダムウォークの量子的類推と考えられる理由の一つである. つまり、左に遷移する際に行列 P {\displaystyle P} の重みがかかり、逆に右に遷移する際に行列 Q {\displaystyle Q} の重みがかかると解釈するのである 。
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時間発展
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 21:52 UTC 版)
「シュレーディンガー方程式」の記事における「時間発展」の解説
時間に依存するシュレーディンガー方程式は時間発展演算子を用いて形式的に解を求めることができる。初期条件を | ψ ( t 0 ) ⟩ = | ψ 0 ⟩ {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =|\psi _{0}\rangle } として、各時刻の状態ベクトルを時間発展演算子 ^U(t − t0) を用いて | ψ ( t ) ⟩ = U ^ ( t − t 0 ) | ψ 0 ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t-t_{0})|\psi _{0}\rangle } と書き換える。初期条件を満たすためには時間発展演算子は初期時刻において恒等演算子に等しくなければならない：^U(0) = I。 時間発展演算子による置き換えをすることにより、シュレーディンガー方程式は時間発展演算子に関する微分方程式となる。 d d t U ^ ( t − t 0 ) = 1 i ℏ H ^ ( t ) U ^ ( t − t 0 ) . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {U}}(t-t_{0})={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}(t){\hat {U}}(t-t_{0})\,.} この方程式は以下の積分方程式に置き換えることができる。 U ^ ( t − t 0 ) = I + 1 i ℏ ∫ t 0 t H ^ ( t 1 ) U ^ ( t 1 − t 0 ) d t 1 . {\displaystyle {\hat {U}}(t-t_{0})=I+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1}-t_{0})dt_{1}\,.} 積分方程式の右辺を再帰的に展開することにより無限級数として解が求まる。 U ^ ( t − t 0 ) = I + 1 i ℏ ∫ t 0 t H ^ ( t 1 ) d t 1 + ⋯ + ( 1 i ℏ ) n ∫ t 0 t ⋯ ∫ t 0 t n − 1 H ^ ( t 1 ) ⋯ H ^ ( t n ) d t 1 ⋯ d t n + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t-t_{0})&=I+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t_{1})dt_{1}+\cdots \\&+\left({\frac {1}{i\hbar }}\right)^{n}\int _{t_{0}}^{t}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}{\hat {H}}(t_{1})\cdots {\hat {H}}(t_{n})dt_{1}\cdots dt_{n}+\cdots \,.\end{aligned}}} 積分中のハミルトニアンに時間順序演算子 T を作用させ、ハミルトニアンの積を時間順序積に置き換えれば、積分の順序を時間順序演算子に担わせることができる。ハミルトニアンの積の置換は n! 通りあるため、上記の級数は U ^ ( t − t 0 ) = I + 1 i ℏ ∫ t 0 t H ^ ( t 1 ) d t 1 + ⋯ + ( 1 i ℏ ) n 1 n ! ∫ t 0 t ⋯ ∫ t 0 t T { H ^ ( t 1 ) ⋯ H ^ ( t n ) } d t 1 ⋯ d t n + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t-t_{0})&=I+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t_{1})dt_{1}+\cdots \\&+\left({\frac {1}{i\hbar }}\right)^{n}{\frac {1}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}\cdots \int _{t_{0}}^{t}\operatorname {T} \left\{{\hat {H}}(t_{1})\cdots {\hat {H}}(t_{n})\right\}dt_{1}\cdots dt_{n}+\cdots \,.\end{aligned}}} と書き換えられる。指数関数の級数展開からのアナロジーにより、記述の煩雑さを避けるため時間発展演算子は以下のように略記される。 U ^ ( t − t 0 ) = T exp ( 1 i ℏ ∫ t 0 t H ^ ( t ′ ) d t ′ ) . {\displaystyle {\hat {U}}(t-t_{0})=\operatorname {T} \exp \left({\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t')dt'\right).} 特にハミルトニアンが時間に依存しない場合、時間発展演算子は単に演算子の指数関数となる。 U ^ ( t − t 0 ) = exp ( ( t − t 0 ) i ℏ H ^ ) . {\displaystyle {\hat {U}}(t-t_{0})=\exp \left({\frac {(t-t_{0})}{i\hbar }}{\hat {H}}\right).} ハミルトニアンが時間に依存しない例として、ポテンシャル V が時間に依存しない一般の多体系のハミルトニアン H ^ = ∑ k = 1 N p ^ k 2 2 m k + V ( x ^ 1 , … , x ^ N ) {\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{k}^{2}}{2m_{k}}}+V({\hat {x}}_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{N})} が挙げられる。p は粒子の運動量、x は粒子の位置を表す演算子である。m は粒子の質量であり、それぞれの定数や演算子の添字 k は観測された各粒子を番号付けるものである。また N は系の粒子数を表す。ハミルトニアンが時間に依存する例としては、量子系が外界と相互作用する場合が挙げられ、特に有名なものとして古典的な電磁場と相互作用する電子のハミルトニアンがある。 H ^ = 1 2 m ( p ^ + e A ( x ^ , t ) ) 2 − e Φ ( x ^ , t ) . {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\boldsymbol {p}}}+e{\boldsymbol {A}}({\hat {\boldsymbol {x}}},t)\right)^{2}-e\Phi ({\hat {\boldsymbol {x}}},t)\,.} ここで A, Φ は電磁ポテンシャルであり、e は電気素量である。
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時間発展
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/17 17:34 UTC 版)
量子状態 | ψ ( t ) ⟩ = c 1 ( t ) | 1 ⟩ + c 2 ( t ) | 2 ⟩ ( | c 1 ( t ) | 2 + | c 2 ( t ) | 2 = 1 ) {\displaystyle |\psi (t)\rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle \quad (|c_{1}(t)|^{2}+|c_{2}(t)|^{2}=1)} の時間発展はシュレディンガー方程式 i ℏ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = H ^ | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle } に従うことから、時間発展は複素係数 c1, c2 の微分方程式 i ℏ d d t c 1 ( t ) = H 11 c 1 ( t ) + H 12 c 2 ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}c_{1}(t)=H_{11}c_{1}(t)+H_{12}c_{2}(t)} i ℏ d d t c 2 ( t ) = H 21 c 1 ( t ) + H 22 c 2 ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}c_{2}(t)=H_{21}c_{1}(t)+H_{22}c_{2}(t)} で与えられる。
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