時間発展作用素への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/17 17:34 UTC 版)
ハミルトニアン ^H が時間に陽に依存しない場合、時間発展演算子は行列指数関数で与えられるが、2状態系ではパウリ行列による展開で直接的に求めることができる。ハミルトニアン ^H はパウリ行列で H ^ = ℏ ω 0 I ^ + ℏ ω 1 σ ^ 1 + ℏ ω 2 σ ^ 2 + ℏ ω 3 σ ^ 3 = ℏ ω 0 I ^ + ℏ ω → ⋅ σ ^ → {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\hbar \omega _{0}{\hat {I}}+\hbar \omega _{1}{\hat {\sigma }}_{1}+\hbar \omega _{2}{\hat {\sigma }}_{2}+\hbar \omega _{3}{\hat {\sigma }}_{3}\\&=\hbar \omega _{0}{\hat {I}}+\hbar {\vec {\omega }}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}}\end{aligned}}} の形で展開できる。第一項は時間発展には共通位相因子分 e−iω0t しか寄与せず、エネルギーの基準を取り直すことで無視してもよい。このとき 時間発展演算子はパウリ行列の行列指数関数の性質により、 U ^ ( t , 0 ) = e − i ℏ H ^ t = e − i ω 0 t I ^ e − i t ω → ⋅ σ ^ → = e − i ω 0 t { cos ( | ω → | t ) I ^ − i sin ( | ω → | t ) ( n → ⋅ σ ^ → ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t,0)&=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}\\&=e^{-i\omega _{0}t{\hat {I}}}e^{-it{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}}}\\&=e^{-i\omega _{0}t}\left\{\cos {(|{\vec {\omega }}|t)}\,{\hat {I}}-i\sin {(|{\vec {\omega }}|t)}\,({\vec {n}}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}})\right\}\end{aligned}}} で与えられる。但し、n→ は n → = ω → | ω → | {\displaystyle {\vec {n}}={\frac {\vec {\omega }}{|{\vec {\omega }}|}}} で与えられる単位ベクトルである。
※この「時間発展作用素への応用」の解説は、「2状態系」の解説の一部です。
「時間発展作用素への応用」を含む「2状態系」の記事については、「2状態系」の概要を参照ください。
- 時間発展作用素への応用のページへのリンク
