数学的形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/04 14:40 UTC 版)
原子軌道 φ m ( r ) {\displaystyle \varphi _{m}({\boldsymbol {r}})} を単一孤立原子のハミルトニアン Hat の固有関数とする。原子が結晶中にある場合、原子の波動関数は隣接する原子サイトと重なりをもち、したがって原子軌道は結晶ハミルトニアンの真の固有関数にはならない。この近似を「強結合近似」と呼ぶのは、原子サイト間の相互作用は電子が原子により強く結合しているほど弱くなり、この近似が有効となるためである。結晶ハミルトニアン H を得るために必要な原子ポテンシャルへからのずれは全て ΔU で表わされ、かつ微小量と仮定する。 H ( r ) = ∑ R n H a t ( r − R n ) + Δ U ( r ) {\displaystyle H({\boldsymbol {r}})=\sum _{{\boldsymbol {R}}_{n}}H_{\mathrm {at} }({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n})+\Delta U({\boldsymbol {r}})} 非時間依存一電子シュレーディンガー方程式の解 ψ r {\displaystyle \psi _{r}} は、原子軌道 φ m ( r − R n ) {\displaystyle \varphi _{m}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n})} の線形結合により以下のように近似される。 ψ ( r ) = ∑ m , R n b m ( R n ) φ m ( r − R n ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})=\sum _{m,{\boldsymbol {R_{n}}}}b_{m}({\boldsymbol {R}}_{n})\ \varphi _{m}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n})} ここで m は原子エネルギー準位の添字であり、 Rn は結晶格子上の原子サイトを表わす。
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数学的形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/17 10:14 UTC 版)
ガウシアンビームはTEMモード（英語版）の一つである。このモードの複素電場強度の数学的表式は近軸ヘルムホルツ方程式を解くことで得られ、以下のような表式を得る。 E ( r , z ) = E 0 w 0 w ( z ) exp ( − r 2 w ( z ) 2 − i k z − i k r 2 2 R ( z ) + i ζ ( z ) ) {\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)} ここに、変数は以下のように定義する。 r はビームの中心軸からの距離 z はビーム径の最も収束している点（ビームウェスト）からの中心軸方向の距離 i は虚数単位 (i2 = -1) k = 2π/λ は波数（単位はラジアン毎メートル） E0 = |E(0,0)| w(z) はスポットサイズ（電界強度および放射照度が中心軸上の値からそれぞれ 1/e および 1/e2 になる半径） w0 = w(0) はビームウェストでのスポットサイズ R(z)は波面（英語版）の曲率半径 ζ(z) はガウシアンビームに見られる特別な寄与であるグイ位相シフト 厳密には時間依存因子 eiωt もかかっているが、上の式では省略されている。 対応する時間平均強度分布は以下のように表わされる。 I ( r , z ) = | E ( r , z ) | 2 2 η = I 0 ( w 0 w ( z ) ) 2 exp ( − 2 r 2 w 2 ( z ) ) {\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)} ここで I0 = I(0,0) はビームウェストの中心における放射照度であり、定数 η はビームの伝播している媒質の特性インピーダンスである。自由空間においては、 η = η0 = √μ0/ε0 = 1/(cε0) ≈ 376.7 Ω となる。
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数学的形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 01:01 UTC 版)
球面ガウス基底関数（後述）は一般的な動径部分と角度部分への変数分離 Φ ( r ) = R l ( r ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \ \Phi (\mathbf {r} )=R_{l}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )} に従う。ここで、 Ylm(θ, ϕ) は球面調和関数、 l および m は軌道角運動量量子数と z 方向の軌道角運動量量子数、 r, θ, ϕ は球面極座標である。 スレーター軌道では動径部分を以下のような関数とする。 R l ( r ) = A ( l , α ) r l e − α r {\displaystyle \ R_{l}(r)=A(l,\alpha )r^{l}e^{-\alpha r}} ここで A(l, α) は規格化定数である。対して、原始ガウス軌道では動径部分を以下のような関数とする。 R l ( r ) = B ( l , α ) r l e − α r 2 {\displaystyle \ R_{l}(r)=B(l,\alpha )r^{l}e^{-\alpha r^{2}}} ここで B(l, α) はガウス軌道に対する規格化定数である。 一つの原始ガウス軌道だけでは原子軌道の形を上手く表現できないため、多くの場合は複数の原始ガウス軌道を次のように縮約し、スレーター軌道の形に近づける。 R l ( r ) = r l ∑ p = 1 , P c p A ( l , α p ) exp ( − α p r 2 ) {\displaystyle \ R_{l}(r)=r^{l}\sum _{p=1,P}c_{p}A(l,\alpha _{p})\exp(-\alpha _{p}r^{2})} ここで cp は指数 αp の原始ガウス軌道に対する縮約係数である。係数は規格化後の原始ガウス軌道に対して定義する。これは、規格化前の原始ガウス軌道は指数によってノルムが何桁も異なるためである。Basis Set Exchange (BSE) から、様々な基準にもとづくガウス基底関数系が取得できる。
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