数学的帰納法による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/21 23:27 UTC 版)
「コーシー＝シュワルツの不等式」の記事における「数学的帰納法による証明」の解説
別の観点に立った証明として、直交射影の概念を用いる以下のものがある：‖ y ‖ = 0 のときは、x と y との内積が 0 になり、問題の不等式は自明な形で等号として成立する。‖ y ‖ > 0 のときは、 t = ⟨ x , y ⟩ ‖ y ‖ 2 {\displaystyle t={\frac {\langle x,y\rangle }{\|y\|^{2}}}} に対して t y を x の y 方向への直交射影と見なすことができる。実際、この t について z := x - t y は y に直交している。 ‖ z ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 ‖ y ‖ 2 − | ⟨ x , y ⟩ | 2 ‖ y ‖ 2 {\displaystyle \|z\|^{2}={\frac {\|x\|^{2}\|y\|^{2}-|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}}} が非負であることよりコーシー＝シュワルツの不等式が従う。さらに、x と y とが線型従属のときかつそのときに限り z = 0 であり、不等式において等号が成立することがわかる。 標準内積に関する内積空間と考えたときのユークリッド空間 Rn の場合に書き下すと、 ( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)} となるが、この不等式は n に関する数学的帰納法で証明することができる。各 x i , y i {\displaystyle x_{i},y_{i}} が負でない場合を示せばよい。n = 1 のときは明らかに成立。n = 2 のときは、 ( x 1 2 + x 2 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 ) − ( x 1 y 1 + x 2 y 2 ) 2 = ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) 2 ≥ 0 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})-(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0} より成り立つ。n = m で成立すると仮定する。n = m + 1 のとき、 ( ∑ i = 1 m + 1 x i y i ) 2 = ( ∑ i = 1 m x i y i + x m + 1 y m + 1 ) 2 {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{m+1}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{m}x_{i}y_{i}+x_{m+1}y_{m+1}\right)^{2}} ≤ ( ( ∑ i = 1 m x i 2 ) 1 2 ( ∑ i = 1 m y i 2 ) 1 2 + x m + 1 y m + 1 ) 2 {\displaystyle \leq \left(\left(\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}+x_{m+1}y_{m+1}\right)^{2}} (∵帰納法の仮定より) ≤ ( ∑ i = 1 m x i 2 + x m + 1 2 ) ( ∑ i = 1 m y i 2 + y m + 1 2 ) {\displaystyle \leq \left(\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{2}+x_{m+1}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{2}+y_{m+1}^{2}\right)} (∵n=2のときより) = ( ∑ i = 1 m + 1 x i 2 ) ( ∑ i = 1 m + 1 y i 2 ) {\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{m+1}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{m+1}y_{i}^{2}\right)} となって成立する。
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数学的帰納法による証明
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「ド・モアブルの定理」の記事における「数学的帰納法による証明」の解説
証明 — 1. まず、n ≥ 0 について成り立つことを、数学的帰納法により証明する。 [i] n = 0 のとき （左辺） = ( cos θ + i sin θ ) 0 = 1 {\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{0}=1} （右辺） = cos 0 + i sin 0 = 1 {\displaystyle =\cos 0+i\sin 0=1} よって n = 0 のときに本定理は成立する。 [ii] n − 1 のとき、すなわち ( cos θ + i sin θ ) n − 1 = cos ( n − 1 ) θ + i sin ( n − 1 ) θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}=\cos(n-1)\theta +i\sin(n-1)\theta } が成り立つと仮定すると ( cos θ + i sin θ ) n = ( cos θ + i sin θ ) n − 1 ( cos θ + i sin θ ) = { cos [ ( n − 1 ) θ ] + i sin [ ( n − 1 ) θ ] } ( cos θ + i sin θ ) = { cos [ ( n − 1 ) θ ] cos θ − sin [ ( n − 1 ) θ ] sin θ } + i { sin [ ( n − 1 ) θ ] cos θ + cos [ ( n − 1 ) θ ] sin θ } = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]+i\sin[(n-1)\theta ]\}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]\cos \theta -\sin[(n-1)\theta ]\sin \theta \}+i\{\sin[(n-1)\theta ]\cos \theta +\cos[(n-1)\theta ]\sin \theta \}\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}} ゆえに、n のときも本定理は成立する。よって、[i], [ii] から、数学的帰納法によって、n ≥ 0 に対して本定理が成り立つ。 2. 続いて n < 0 の場合を、1. を利用して証明する。 n < 0 のとき、n = −m とおくと、m は自然数である。1. の結果より、m については定理の等式が成り立つから、 ( cos θ + i sin θ ) n = ( cos θ + i sin θ ) − m = 1 ( cos θ + i sin θ ) m = 1 cos m θ + i sin m θ = cos m θ − i sin m θ ( cos m θ + i sin m θ ) ( cos m θ − i sin m θ ) = cos m θ − i sin m θ = cos ( − m θ ) + i sin ( − m θ ) = cos ( − m ) θ + i sin ( − m ) θ = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{-m}\\&={\frac {1}{(\cos \theta +i\sin \theta )^{m}}}\\&={\frac {1}{\cos m\theta +i\sin m\theta }}\\&={\frac {\cos m\theta -i\sin m\theta }{(\cos m\theta +i\sin m\theta )(\cos m\theta -i\sin m\theta )}}\\&=\cos m\theta -i\sin m\theta \\&=\cos(-m\theta )+i\sin(-m\theta )\\&=\cos(-m)\theta +i\sin(-m)\theta \\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}} ゆえに n < 0 のときも本定理が成り立つ。したがって、1、2 より、任意の整数 n に対して、本定理が成り立つ。(Q.E.D.)
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