ド・モアブルの定理とは？わかりやすく解説

ド・モアブルの定理（ド・モアブルのていり、英: de Moivre's theorem、ド・モアブルの公式〈ド・モアブルのこうしき〉ともいう）とは、複素数（特に実数） $θ$ および整数 $n$ に対して

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない^[1]。数学的帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。

実数 $θ$ と正の整数 $n$ に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、 $n$ 倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の $n$ 倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式： $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ より、ド・モアブルの定理は複素指数函数についての指数法則の一つ：

(e^{i\theta })^{n}=e^{in\theta }\quad (\theta \in \mathbb {C} ,\,n\in \mathbb {Z} )

が成り立つことを意味している。

証明

数学的帰納法による証明

証明 —
1. まず、 $n \geq 0$ について成り立つことを、数学的帰納法により証明する。

[i] $n = 0$ のとき

（左辺） $=(\cos \theta +i\sin \theta )^{0}=1$

（右辺） $=\cos 0+i\sin 0=1$

よって $n = 0$ のときに本定理は成立する。

[ii] $n - 1$ のとき、すなわち

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}=\cos(n-1)\theta +i\sin(n-1)\theta$

が成り立つと仮定すると

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]+i\sin[(n-1)\theta ]\}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]\cos \theta -\sin[(n-1)\theta ]\sin \theta \}+i\{\sin[(n-1)\theta ]\cos \theta +\cos[(n-1)\theta ]\sin \theta \}\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}$ ^{[注 1]}

ゆえに、 $n$ のときも本定理は成立する。
よって、[i], [ii] から、数学的帰納法によって、 $n \geq 0$ に対して本定理が成り立つ。

2. 続いて $n < 0$ の場合を、1. を利用して証明する。

$n < 0$ のとき、 $n = - m$ とおくと、 $m$ は自然数である。
1. の結果より、 $m$ については定理の等式が成り立つから、

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{-m}\\&={\frac {1}{(\cos \theta +i\sin \theta )^{m}}}\\&={\frac {1}{\cos m\theta +i\sin m\theta }}\\&={\frac {\cos m\theta -i\sin m\theta }{(\cos m\theta +i\sin m\theta )(\cos m\theta -i\sin m\theta )}}\\&=\cos m\theta -i\sin m\theta \\&=\cos(-m\theta )+i\sin(-m\theta )\\&=\cos(-m)\theta +i\sin(-m)\theta \\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}$ ^{[注 2]}

ゆえに $n < 0$ のときも本定理が成り立つ。
したがって、1、2 より、任意の整数 $n$ に対して、本定理が成り立つ^[2]。 (Q.E.D.)

複素数の積の性質による証明

証明 — 複素数の積の性質を用いても導出できる。 $θ, φ \in C$ に対して

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \phi +i\sin \phi )&=(\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi )+i(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi )\\&=\cos(\theta +\phi )+i\sin(\theta +\phi )\end{aligned}}$

が成り立つ^{[注 3]}。よって帰納的に

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

が分かる^[3]。 (Q.E.D.)

オイラーの公式による証明

証明 — オイラーの公式

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ （ $θ$ は複素数）

ならびに複素指数関数の指数法則を用いても証明できる。 $n$ を整数として、この式の両辺を $n$ 乗すれば

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(e^{i\theta })^{n}\\&=e^{in\theta }\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}$

したがって

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}$

が得られる^[4]。 (Q.E.D.)

指数が非整数の場合

ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る（多価関数）からである（冪乗#指数・対数法則の不成立参照）。 $n$ が整数でないとき、ド・モアブルの定理における $n$ 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。

$θ$ を実数、 $w$ を複素数とすると

$\{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp\{w\log \exp(i\theta )\}=\exp\{wi(\theta +2n\pi )\}=\exp(iw\theta )\exp(2n\pi iw)$ （ $n$ は整数）

である。したがって、 $w$ が整数であれば

$\{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp(iw\theta )\cdot 1=\cos(w\theta )+i\sin(w\theta )$

という 1 つの値を取るが、 $w$ が整数でないときは $\cos(w\theta )+i\sin(w\theta )$ を含む複数の値を取ることになる。

${exp(iθ)} w$ の値の取り方について、 $w$ が有理数であれば、 $w = a / b$ （ $a$ , $b$ は互いに素）と表すと、 $2 nwπ = 2 π \times na / b$ であるから、 $n = 0, 1, \dots, b - 1$ で循環し、 $b$ 個の値を取る。 $w \notin Q$ （無理数または虚数）ならば循環せず、可算無限個の値を取る。

適用例

虚数単位の累乗: $n$ を整数とすると、; $i^{n}=(0+i)^{n}=\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)^{n}=\cos {\frac {n\pi }{2}}+i\sin {\frac {n\pi }{2}}$; $\therefore \ i^{\,n}={\begin{cases}1&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {4}}\\i&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 2{\pmod {4}}\\-i&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}$; $n$ が非整数のときは、先述したように、複数取る値のうちの1つだけを求めている。

1の冪根: $n$ を 2 以上の自然数とするとき、 $z n = 1$ を満たす $z$ を求める。; $z$ の極形式を $z = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r \geq 0$ , $θ$ は実数）とする。; ${\begin{aligned}z^{n}&=\{r(\cos \theta +i\sin \theta )\}^{n}\\&=r^{n}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}\\&=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )\\&=1\end{aligned}}$; $\therefore r^{n}=1,\ n\theta =2\pi k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)$; $\therefore r=1,\ \theta ={\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)$; $\therefore \ z=\cos {\frac {2\pi }{n}}k+i\sin {\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)\quad \blacksquare$

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 等式の整理に加法定理を利用した。
^ 等式の整理に三角関数の負角公式を利用した。
^ これは変数を実数と考えると、複素平面の単位円上、偏角 $θ$ の複素数に偏角 $φ$ の複素数を掛けると偏角が $θ + φ$ になることを意味する。

出典

^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). College Algebra and Trigonometry (4th ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 792. ISBN 9780321497444
^ ド・モアブルの定理
^ 2013年度「代数学基礎」, pp.57–60
^ ド・モアブルの公式とオイラーの公式 - 九州工業大学工学部教授鎌田裕之

外部リンク

『ド・モアブルの定理の意味と証明』 - 高校数学の美しい物語

[2] 等式の整理に加法定理を利用した。

[3] 等式の整理に三角関数の負角公式を利用した。

[5] これは変数を実数と考えると、複素平面の単位円上、偏角 $θ$ の複素数に偏角 $φ$ の複素数を掛けると偏角が $θ + φ$ になることを意味する。

[1] Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). College Algebra and Trigonometry (4th ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. p. 792. ISBN 9780321497444

[4] ド・モアブルの定理

[6] 2013年度「代数学基礎」, pp.57–60

[7] ド・モアブルの公式とオイラーの公式 - 九州工業大学工学部教授鎌田裕之

[1]

[注 1]

[注 2]

[2]

[注 3]

[3]

[4]

ド・モアブルの定理とは？わかりやすく解説

ド・モアブルの定理