複素数を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:48 UTC 版)
a, b を実数とし、a > 0, i を虚数単位とする。 複素数 a + bi の偏角は arctan b a {\displaystyle \arctan {\frac {b}{a}}} である。 複素数の偏角の範囲は arctan の主値と同じ範囲に取るものとする。 n を整数とする。ド・モアブルの定理によると (a + bi)n の偏角は n arctan b a {\displaystyle n\arctan {\frac {b}{a}}} である。この式を利用すると、マチンの公式の左辺は ( 5 + i ) 4 ( 239 + i ) − 1 = ( 5 + i ) 4 239 + i = 2 + 2 i {\displaystyle (5+i)^{4}\ (239+i)^{-1}={\frac {(5+i)^{4}}{239+i}}=2+2i} の左辺の式の偏角に等しいと分かる。この式の右辺の偏角は π/4 であるためマチンの公式が示される。
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