複素数の除法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 00:43 UTC 版)
実数の除法を用いれば複素数の除法が、被除数が 0 の場合を除いた任意の 2 つの複素数について定義できる。2 つの複素数 z, w について、w の共役複素数 w を用いれば、複素数の除法 z/w は次のように計算できる（ただし除数 w は 0 でないとする）。 z w = z w w ¯ w ¯ = z w ¯ | w | 2 . {\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {z}{w}}{\frac {\overline {w}}{\overline {w}}}={\frac {z{\overline {w}}}{\left|w\right|^{2}}}.} また、複素数 z, w の実部と虚部を 4 つの実数 Re z, Im z, Re w, Im w を用いて z = Re z + i Im z, w = Re w + i Im w と表せば、複素数の除法 z/w は次のように表せる。 z w = Re z + i Im z Re w + i Im w = Re z Re w + Im z Im w ( Re w ) 2 + ( Im w ) 2 + i Re z Im w − Im z Re w ( Re w ) 2 + ( Im w ) 2 . {\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {\operatorname {Re} z+i\operatorname {Im} z}{\operatorname {Re} w+i\operatorname {Im} w}}={\frac {\operatorname {Re} z\operatorname {Re} w+\operatorname {Im} z\operatorname {Im} w}{(\operatorname {Re} w)^{2}+(\operatorname {Im} w)^{2}}}+i\,{\frac {\operatorname {Re} z\operatorname {Im} w-\operatorname {Im} z\operatorname {Re} w}{(\operatorname {Re} w)^{2}+(\operatorname {Im} w)^{2}}}.} 極形式では z w = | z | e i arg z | w | e i arg w = | z | | w | e i ( arg z − arg w ) {\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {|z|e^{i\arg z}}{|w|e^{i\arg w}}}={\frac {|z|}{|w|}}e^{i(\arg z-\arg w)}} と書ける。やはり |w| = 0 つまり w = 0 のところでは定義できない。
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