複素数の絶対値
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数学における複素数の絶対値(ぜったいち、英: absolute value, 仏: module; 母数)とは、複素数平面における、原点 O(0) とのユークリッド距離として定義できる。これは、実数の絶対値を複素数に拡張した、唯一の乗法的ノルムとして特徴付けることができる。複素数 z の絶対値は |z| などで表される。
- 1 複素数の絶対値とは
- 2 複素数の絶対値の概要
- 3 演算の特徴
- 4 絶対値 1 の複素数
- 5 参考文献
複素数の絶対値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/27 05:41 UTC 版)
詳細は「複素数の絶対値」を参照 複素数 z = a + ib に対して、その絶対値は | z | = a 2 + b 2 {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} で与えられる非負実数値である。b = 0 とすることにより、z が実数値を取るときには実数の絶対値に一致することが確かめられる。 z をガウス平面上の点として解釈すれば、|z| とは原点から z までの距離である。複素数を扱う際に、その数を絶対値と偏角とによって表す極形式の考え方は有益である。 複素数 z とその複素共軛 z に対して | z | = | z ¯ | {\textstyle |z|=|{\bar {z}}|} が成り立つ。また、 | z | 2 = z z ¯ {\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}} は z が引き起こすガウス平面上の一次変換の母数(モジュラス)である。これを | z | = z z ¯ {\textstyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}} と書けば、これは実数の絶対値を | x | = x 2 {\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}} と定める定義の対応版と見ることができる(実際、実数 x を虚部が 0 の複素数 z := x + 0⋅i と見れば、z = x = z したがって zz = xx = x2 である)。同様のことはより一般のノルム多元体(あるいはさらに一般の合成代数)において考えることができる。
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