合成代数のノルム・絶対値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/11 08:33 UTC 版)
「複素数の絶対値」の記事における「合成代数のノルム・絶対値」の解説
詳細は「合成代数」を参照 任意の合成代数 A は共軛と呼ばれる対合 x ↦ x* を備えている。各元 x とその共軛元 x* との積 N(x) := xx* は x のノルムと呼ばれる。 実数体 ℝ, 複素数体 ℂ, 四元数体 ℍ は何れも正定値二次形式によって与えられるノルムを持つ合成代数であり、これら多元体における絶対値は上記合成代数としてのノルムの平方根: { | x | R := x ⋅ x = x 2 ( ∀ x ∈ R ) | z | C := z ⋅ z ¯ = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 ( ∀ z := a + b i ∈ C ; a , b ∈ R ) | h | H := h ⋅ h ∗ = ( r + q ) ( r − q ) = r 2 + ‖ q ‖ 2 ( ∀ h := r + q ∈ H ; r ∈ R , q ∈ R 3 ) {\displaystyle {\begin{cases}|x|_{\mathbb {R} }:={\sqrt {x\cdot x}}={\sqrt {x^{2}}}&(\forall x\in \mathbb {R} )\\[5pt]|z|_{\mathbb {C} }:={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&(\forall z:=a+bi\in \mathbb {C} ;\,a,b\in \mathbb {R} )\\[5pt]|h|_{\mathbb {H} }:={\sqrt {h\cdot h^{*}}}={\sqrt {(r+\mathbf {q} )(r-\mathbf {q} )}}={\sqrt {r^{2}+\Vert \mathbf {q} \Vert ^{2}}}&(\forall h:=r+\mathbf {q} \in \mathbb {H} ;\,r\in \mathbb {R} ,\,\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{3})\end{cases}}} で与えられる。 一般には合成代数のノルムは二次形式として不定値となり得るし、等方ベクトルも持ち得る。それでも上記の多元体の場合と同様に非零ノルムを持つ元 x は必ず乗法逆元として x*/N(x) を持つ。
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