合成公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:03 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「合成公式」の解説
正弦関数と余弦関数の和は、正弦関数で表すことができる。 a sin x + b cos x = a 2 + b 2 ⋅ sin ( x + φ ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\,} ここで、φの値は以下の式で与えられる。 φ = { arcsin ( b a 2 + b 2 ) if a ≥ 0 , π − arcsin ( b a 2 + b 2 ) if a < 0 , {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi -\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a<0,\end{cases}}} または φ = arctan ( b a ) + { 0 if a ≥ 0 , π if a < 0 , {\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi &{\text{if }}a<0,\end{cases}}} 位相の違う正弦関数を以下のように合成することができる。 a sin x + b sin ( x + α ) = c sin ( x + β ) {\displaystyle a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\,} ここで c と β の値は以下の式で与えられる。 c = a 2 + b 2 + 2 a b cos α , {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},\,} β = arctan ( b sin α a + b cos α ) + { 0 if a + b cos α ≥ 0 , π if a + b cos α < 0. {\displaystyle \beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a+b\cos \alpha \geq 0,\\\pi &{\text{if }}a+b\cos \alpha <0.\end{cases}}}
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