合成写像の偏微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。 ∂ [ a ] f i | [ p ] = {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=} d ( f i ∘ l [ a , p ] ) d t | t = 0 {\displaystyle {{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=0}}} (3-23) (3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、 d ( f i ∘ l [ a , p ] ) d t | t = s = ( J f i ) l [ a , p ] ( l [ a , p ] ) s {\displaystyle {{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=s}}={{(J{{f}_{i}})}_{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}}{{\left({{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}\right)}_{s}}} = ( ∂ f i ∂ x 1 | [ l [ a , p ] ] , ⋯ , ∂ f i ∂ x n | [ l [ a , p ] ] ) {\displaystyle =\left({{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}},\cdots ,{{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}}\right)} s a {\displaystyle s{\textbf {a}}} = ∑ i = 1 m s a j ∂ f i ∂ x j | [ s a + b ] {\displaystyle ={{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}} (3-24) 以上より、 ∂ [ a ] f i | [ p ] = {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=} ∑ i = 1 m s a j ∂ f i ∂ x j | [ s a + b ] {\displaystyle {{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}} (3-25)
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