ド・モアブルの定理による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/03 14:17 UTC 版)
「オイラーの公式」の記事における「ド・モアブルの定理による証明」の解説
証明 — ド・モアブルの定理を用いた証明を示す。ド・モアブルの定理より cos n θ + i sin n θ = ( cos θ + i sin θ ) n , cos n θ − i sin n θ = ( cos θ − i sin θ ) n . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta +i\sin n\theta &=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n},\\\cos n\theta -i\sin n\theta &=(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.\end{aligned}}} 辺々加えて 2 cos n θ = ( cos θ + i sin θ ) n + ( cos θ − i sin θ ) n . {\displaystyle 2\cos n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.} 右辺の 2 つの項を二項定理によって展開すれば、i の奇数乗の項は相殺し、i の偶数乗の項だけを二重に加えることになるので cos n θ = ∑ k = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) ( cos θ ) n − 2 k ( sin θ ) 2 k = ∑ k = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) ( cos θ ) n ( tan θ ) 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta &=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n-2k}(\sin \theta )^{2k}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n}(\tan \theta )^{2k}\end{aligned}}} を得る。これが cos θ の n 倍角の公式の閉じた表示式である（[s] は s の整数部分）。この式において nθ = x と置き換えると cos x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n 2 k ) ( cos x n ) n ( tan x n ) 2 k . {\displaystyle \cos x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}.} 和の上端を ∞ に書き直したが、k > n/2 のとき二項係数の部分が 0 になるので、これは .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n/2 までの和に等しい。n → ∞ の極限においては cos x n ∼ 1 , sin x n ∼ x n , tan x n ∼ x n {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}\sim 1\ ,\ \sin {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}\ ,\ \tan {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}} となり、各項目において漸近的に等しいことが確認できる。したがって ( n 2 k ) ∼ n 2 k ( 2 k ) ! , ( cos x n ) n ∼ 1 , ( tan x n ) 2 k ∼ x 2 k n 2 k {\displaystyle {\binom {n}{2k}}\sim {\frac {n^{2k}}{(2k)!}}\ ,\ \left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\sim 1\ ,\ \left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}\sim {\frac {x^{2k}}{n^{2k}}}} となる。よって cos x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! x 2 k {\displaystyle \cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}} が得られる。同様に sin x について考えれば sin x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) ( cos x n ) n ( tan x n ) 2 k + 1 {\displaystyle \sin x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k+1}} より sin x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! x 2 k + 1 {\displaystyle \sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}} が得られる。ここで、n → ∞ の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると cos x n = 1 + a n {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}=1+a_{n}} とおけば ( cos x n ) n = ( 1 + a n ) n = 1 + n a n + ( n 2 ) a n 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}&=\left(1+a_{n}\right)^{n}\\&=1+na_{n}+{\binom {n}{2}}{a_{n}}^{2}+\dotsb \end{aligned}}} であるから、an が小さいとき、n 乗すると誤差はおよそ n 倍されるが、an が 1/n よりも早く 0 に近づくときには、極限に影響しない。本議論において a n = cos x n − 1 = − 2 sin 2 x 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=\cos {\frac {x}{n}}-1\\&=-2\sin ^{2}{\frac {x}{2n}}\end{aligned}}} であるから a n ∼ − x 2 2 n 2 {\displaystyle a_{n}\sim -{\frac {x^{2}}{2n^{2}}}} となる。したがって、ランダウの記号を用いて漸近挙動を示せば cos x n = 1 + O ( 1 n 2 ) . {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}=1+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right).} ゆえに lim n → ∞ ( cos x n ) n = 1. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}=1.} ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って cos n θ + i sin n θ = ( cos θ + i sin θ ) n . {\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.} 上記式において nθ = x とおくと cos x + i sin x = ( cos x n + i sin x n ) n . {\displaystyle \cos x+i\sin x=\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}.} ここで、n → ∞ の極限をとったとき cos x n + i sin x n = 1 + i x n + O ( 1 n 2 ) {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}=1+{\frac {ix}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)} であるから lim n → ∞ ( cos x n + i sin x n ) n = lim n → ∞ ( 1 + i x n ) n = e i x . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {ix}{n}}\right)^{n}=e^{ix}.} よって e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} が得られる。
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