倍角の公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 05:45 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「倍角の公式」の解説
加法定理から、正弦関数および余弦関数の以下の倍角公式が得られる。これらの式は16世紀のフランスの数学者フランソワ・ビエトによって示された。 sin ( n θ ) = ∑ k = 0 n ( n k ) cos k θ sin n − k θ sin ( 1 2 ( n − k ) π ) , cos ( n θ ) = ∑ k = 0 n ( n k ) cos k θ sin n − k θ cos ( 1 2 ( n − k ) π ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right),\\\cos(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)\end{aligned}}} ここで (nk) は二項係数である。上記の和の最初の数項を明示すれば、以下の通りである。 sin ( n θ ) = ( n 1 ) cos n − 1 θ sin θ − ( n 3 ) cos n − 3 θ sin 3 θ + ⋯ , cos ( n θ ) = ( n 0 ) cos n θ − ( n 2 ) cos n − 2 θ sin 2 θ + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&={\binom {n}{1}}\cos ^{n-1}\theta \sin \theta -{\binom {n}{3}}\cos ^{n-3}\theta \sin ^{3}\theta +\cdots ,\\\cos(n\theta )&={\binom {n}{0}}\cos ^{n}\theta -{\binom {n}{2}}\cos ^{n-2}\theta \sin ^{2}\theta +\cdots .\end{aligned}}} ビエトの公式を利用し、正接関数と余接関数の倍角公式を漸化式として与えることができる。 tan ( ( n + 1 ) θ ) = tan ( n θ ) + tan θ 1 − tan ( n θ ) tan θ , cot ( ( n + 1 ) θ ) = cot ( n θ ) cot θ − 1 cot ( n θ ) + cot θ . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {((n+1)\theta )}&={\frac {\tan(n\theta )+\tan \theta }{1-\tan(n\theta )\tan \theta }},\\\cot {((n+1)\theta )}&={\frac {\cot(n\theta )\cot \theta -1}{\cot {(n\theta )}+\cot \theta }}.\end{aligned}}} またド・モアブルの定理、あるいはオイラーの公式を利用し、以下のように表すことができる。 cos ( n θ ) = 1 2 { ( cos θ + i sin θ ) n + ( cos θ − i sin θ ) n } , sin ( n θ ) = − i 2 { ( cos θ + i sin θ ) n − ( cos θ − i sin θ ) n } , tan ( n θ ) = − i ( 1 + i tan θ ) n − ( 1 − i tan θ ) n ( 1 + i tan θ ) n + ( 1 − i tan θ ) n {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(n\theta )&={\frac {1}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\sin(n\theta )&=-{\frac {i}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}-(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\tan(n\theta )&=-i{\frac {(1+i\tan \theta )^{n}-(1-i\tan \theta )^{n}}{(1+i\tan \theta )^{n}+(1-i\tan \theta )^{n}}}\end{aligned}}}
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