モリーの法則 （モリーのほうそく、英 : Morrie's law ）は、三角関数 の等式
cos
(
20
∘
)
⋅
cos
(
40
∘
)
⋅
cos
(
80
∘
)
=
1
8
{\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}}
である。これはより一般の恒等式
2
n
⋅
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
sin
(
α
)
{\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}
において n = 3 , α = 20° とした特別な場合である。なお
sin
(
180
∘
−
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(180^{\circ }-x)=\sin(x)}
sin
(
160
∘
)
sin
(
20
∘
)
=
sin
(
180
∘
−
20
∘
)
sin
(
20
∘
)
=
1
{\displaystyle {\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1}
であることを使っている。
この式の名称は物理学者のリチャード・P・ファインマン に由来し、彼はこの等式をこの名でよく呼んでいた。というのもファインマンは幼年時代にMorrie Jacobsという少年からこの式を教わり、それを終生忘れなかったからである[1]
正弦関数 にも類似の関係が成り立つ。
sin
(
20
∘
)
⋅
sin
(
40
∘
)
⋅
sin
(
80
∘
)
=
3
8
{\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}}
さらに、2番目の等式を1番目の等式で割れば、次が成り立つのは明らかである。
tan
(
20
∘
)
⋅
tan
(
40
∘
)
⋅
tan
(
80
∘
)
=
3
=
tan
(
60
∘
)
{\displaystyle \tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ })}
証明 正弦関数の倍角の公式 より、
sin
(
2
α
)
=
2
sin
(
α
)
cos
(
α
)
{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha )}
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )}
cos
(
α
)
=
sin
(
2
α
)
2
sin
(
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}}
これより
cos
(
2
α
)
=
sin
(
4
α
)
2
sin
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
=
sin
(
8
α
)
2
sin
(
4
α
)
⋮
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
2
sin
(
2
n
−
1
α
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}\end{aligned}}}
これらの等式を全て掛け合わせると、
cos
(
α
)
cos
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
⋯
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sin
(
2
α
)
2
sin
(
α
)
⋅
sin
(
4
α
)
2
sin
(
2
α
)
⋅
sin
(
8
α
)
2
sin
(
4
α
)
⋯
sin
(
2
n
α
)
2
sin
(
2
n
−
1
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}}
が得られる。中間の因子の分子・分母はキャンセルし、最初の因子の分母と、2のべき乗と、最後の因子の分子だけが残る。これより、
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
2
n
sin
(
α
)
{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin(\alpha )}}}
これが一般化されたモリーの法則である。
脚注
^ W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life , Math. Mag. 69, 43–44, 1996.
外部リンク
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94afc033ab43447e4dd2642937d767f0d6d92ed5)
