特定の角度に関する式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:03 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「特定の角度に関する式」の解説
以下の式が成り立つ。 cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ = 1 8 {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}} （モリーの法則） この式は以下の式の特殊な場合である。 ∏ j = 0 k − 1 cos ( 2 j x ) = sin ( 2 k x ) 2 k sin ( x ) . {\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin(x)}}.} 以下の式も同じ値を持つ。 cos π 7 cos 2 π 7 cos 3 π 7 = 1 8 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}},} 正弦関数では以下の式が成り立つ。 sin 10 ∘ ⋅ sin 50 ∘ ⋅ sin 70 ∘ = 1 8 . {\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.} sin 15 ∘ ⋅ sin 75 ∘ = 1 4 . {\displaystyle \sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.} sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ ⋅ sin 80 ∘ = 3 8 . {\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.} 余弦関数では以下の式が成り立つ。 cos 10 ∘ ⋅ cos 50 ∘ ⋅ cos 70 ∘ = 3 8 . {\displaystyle \cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.} cos 15 ∘ ⋅ cos 75 ∘ = 1 4 . {\displaystyle \cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.} 上の式を利用して以下の式が得られる。 tan 50 ∘ + tan 60 ∘ + tan 70 ∘ = tan 50 ∘ ⋅ tan 60 ∘ ⋅ tan 70 ∘ = tan 80 ∘ . {\displaystyle \tan 50^{\circ }+\tan 60^{\circ }+\tan 70^{\circ }=\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }.} 以下の式は単純である。 cos 24 ∘ + cos 48 ∘ + cos 96 ∘ + cos 168 ∘ = 1 2 . {\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.} 上の式を一般化する場合分母に21が出てくるため、単位として度よりもラジアンを使用した方がよい。 cos ( 2 π 21 ) + cos ( 2 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 4 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 5 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 8 ⋅ 2 π 21 ) + cos ( 10 ⋅ 2 π 21 ) = 1 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}} 係数に登場する 1, 2, 4, 5, 8, 10 は 21/2 より小さく 21 と互いに素な全ての自然数である。この式は円分多項式に関係している。 以下の関係から導かれる式もある。 ∏ k = 1 n − 1 sin ( k π n ) = n 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}} ∏ k = 1 n − 1 cos ( k π n ) = sin ( π n / 2 ) 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin \left(\pi n/2\right)}{2^{n-1}}}} これらを組み合わせると、以下の式になる。 ∏ k = 1 n − 1 tan ( k π n ) = n sin ( π n / 2 ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin \left(\pi n/2\right)}}} n を奇数に限定すると、以下の式が得られる。 ∏ k = 1 m tan ( k π 2 m + 1 ) = 2 m + 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan \left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}}}
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