ブレートシュナイダーの公式とは？わかりやすく解説

ブレートシュナイダーの公式（ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula）は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、p, q, r, s をそれぞれの辺の長さ、T を半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積は

{\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)-pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}

に等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、任意の四角形について成り立つ。名前の由来はドイツの数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー（1808–1878）にちなむ。

証明

四角形の面積を S とすると、

S=\pm \bigtriangleup {\text{ADB}}\pm \bigtriangleup {\text{BDC}}

(±は、凸四角形と凹四角形の場合を省略します)

{\begin{aligned}&={\frac {1}{2}}ps\sin A+{\frac {1}{2}}qr\sin C\end{aligned}}

より

4S^{2}=(ps)^{2}\sin ^{2}A+(qr)^{2}\sin ^{2}C+2pqrs\sin A\sin C

を得る。また、余弦定理より、

{\text{BD}}^{2}=p^{2}+s^{2}-2ps\cos A=q^{2}+r^{2}-2qr\cos C

であるから

{\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}\cos ^{2}A+(qr)^{2}\cos ^{2}C-2pqrs\cos A\cos C

を得る。4S² についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、

4S^{2}+{\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}+(qr)^{2}-2pqrs\cos(A+C)

となる。倍角の公式 $1+\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}$ を用いて変形すると、

16S^{2}=(p+q+r-s)(p+q-r+s)(p-q+r+s)(-p+q+r+s)-16pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}

となる。この式は、半周長

T={\frac {p+q+r+s}{2}}

を用いて

16S^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)-16pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}

となり、ブレートシュナイダーの公式を得る^[1]。