伊藤の公式とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

伊藤の補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/21 02:36 UTC 版)

伊藤の補題（いとうのほだい、Itō's/Itô's lemma）は、確率微分方程式の確率過程に関する積分を簡便に計算するための方法である。伊藤清が考案した。

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「伊藤の補題」の記事における「伊藤の公式」の解説

確率過程 { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} が確率微分方程式 d X t = f ( t ) d t + g ( t ) d B t {\displaystyle dX_{t}=f(t)dt+g(t)dB_{t}} に従っているとき, h ( t , x ) {\displaystyle h(t,x)} が t , x {\displaystyle t,x} について二回連続微分可能とすると d h = ∂ h ∂ t | x = X t d t + ∂ h ∂ x | x = X t f ( t ) d t + ∂ h ∂ x | x = X t g ( t ) d B t + 1 2 ∂ 2 h ∂ x 2 | x = X t ( g ( t ) ) 2 d t {\displaystyle dh=\left.{\frac {\partial h}{\partial t}}\right|_{x=X_{t}}dt+\left.{\frac {\partial h}{\partial x}}\right|_{x=X_{t}}f(t)dt+\left.{\frac {\partial h}{\partial x}}\right|_{x=X_{t}}g(t)dB_{t}+\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\right|_{x=X_{t}}(g(t))^{2}dt} が成立する。確率過程を含まない積分表示では現れない x {\displaystyle x} の微分に関する二次の項が存在する。これはウィーナー過程の性質 ( d B t ) 2 = d t {\displaystyle (dB_{t})^{2}=dt} による。

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