積分表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)
ベルヌーイ多項式列は ∫ x x + 1 B n ( u ) d u = x n {\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}} で決定される唯一の多項式列である。 多項式 f の上に定義される積分変換 ( T f ) ( x ) = ∫ x x + 1 f ( u ) d u {\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du} は、以下の単純な和 ( T f ) ( x ) = e D − 1 D f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ D n ( n + 1 ) ! f ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) 2 + f ″ ( x ) 6 + f ‴ ( x ) 24 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{aligned}}} である。これは、反転公式の導出に利用できる。
※この「積分表示」の解説は、「ベルヌーイ多項式」の解説の一部です。
「積分表示」を含む「ベルヌーイ多項式」の記事については、「ベルヌーイ多項式」の概要を参照ください。
積分表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/09 02:21 UTC 版)
Rez >0のとき、ポリガンマ関数は次の積分表示を持つ。 ψ ( z ) = − γ + ∫ 0 ∞ e − t − e − z t 1 − e − t d t {\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt} ψ ( n ) ( z ) = ( − 1 ) n + 1 ∫ 0 ∞ t n e − z t 1 − e − t d t ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{n}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt\quad (n=1,2,\cdots )}
※この「積分表示」の解説は、「ポリガンマ関数」の解説の一部です。
「積分表示」を含む「ポリガンマ関数」の記事については、「ポリガンマ関数」の概要を参照ください。
積分表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 08:28 UTC 版)
オイラーの定数の値は以下の定積分で与えられる。 γ = − Γ ′ ( 1 ) = − ∫ 0 ∞ log t e − t d t = − ∫ 0 1 log log 1 u d u ( u = e − t ) = − ∫ − ∞ ∞ u e u − e u d u ( u = log t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\Gamma '(1)\\&=-\int _{0}^{\infty }\log {t}e^{-t}dt\\&=-\int _{0}^{1}\log \log {\frac {1}{u}}du\qquad (u=e^{-t})\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }ue^{u-e^{u}}du\qquad (u=\log {t})\\\end{aligned}}} あるいは log t = ∫ 1 t 1 s d s = ∫ 1 t ∫ 0 ∞ e − s u d u d s = ∫ 0 ∞ ∫ 1 t e − s u d s d u = ∫ 0 ∞ e − u − e − t u u d u {\displaystyle {\begin{aligned}\log {t}&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{s}}ds\\&=\int _{1}^{t}\int _{0}^{\infty }e^{-su}duds\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{t}e^{-su}dsdu\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}-e^{-tu}}{u}}du\\\end{aligned}}} を用いれば γ = − ∫ 0 ∞ log t e − t d t = − ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − u − e − t u u d u e − t d t = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − t u − e − u u d u e − t d t = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − t ( u + 1 ) u d t − ∫ 0 ∞ e − u e − t u d t ) d u = ∫ 0 ∞ ( 1 u ( u + 1 ) − e − u u ) d u {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }\log {t}e^{-t}dt\\&=-\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}-e^{-tu}}{u}}du\;e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-tu}-e^{-u}}{u}}du\;e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t(u+1)}}{u}}dt-\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}e^{-t}}{u}}dt\right)du\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{u(u+1)}}-{\frac {e^{-u}}{u}}\right)du\\\end{aligned}}} となり、更に δ → + 0 {\displaystyle \delta \to +0} のときに | ∫ δ e δ − 1 1 u ( u + 1 ) d u | ≤ | ∫ δ e δ − 1 1 δ d u | = O ( δ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\delta }^{e^{\delta }-1}{\frac {1}{u(u+1)}}du\right|&\leq \left|\int _{\delta }^{e^{\delta }-1}{\frac {1}{\delta }}du\right|\\&=O(\delta )\\\end{aligned}}} であるから γ = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ ( 1 u ( u + 1 ) − e − u u ) d u = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ 1 u ( u + 1 ) d u − ∫ δ ∞ e − s s d s = lim δ → + 0 ∫ e δ − 1 ∞ 1 u ( u + 1 ) d u − ∫ δ ∞ e − s s d s = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ e t ( e t − 1 ) e t d t − ∫ δ ∞ e − s s d s ( u = e t − 1 ) = lim δ → + 0 ∫ δ ∞ e − t 1 − e − t d t − ∫ δ ∞ e − s s d s = ∫ 0 ∞ ( e − t 1 − e − t − e − t t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }\left({\frac {1}{u(u+1)}}-{\frac {e^{-u}}{u}}\right)du\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {1}{u(u+1)}}du-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{e^{\delta }-1}^{\infty }{\frac {1}{u(u+1)}}du-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{t}}{(e^{t}-1)e^{t}}}dt-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\qquad (u=e^{t}-1)\\&=\lim _{\delta \to +0}\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}dt-\int _{\delta }^{\infty }{\frac {e^{-s}}{s}}ds\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{1-e^{-t}}}-{\frac {e^{-t}}{t}}\right)dt\end{aligned}}} となる。
※この「積分表示」の解説は、「オイラーの定数」の解説の一部です。
「積分表示」を含む「オイラーの定数」の記事については、「オイラーの定数」の概要を参照ください。
積分表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 18:27 UTC 版)
R e ( z ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0} のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。 ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − s − 1 ( 1 + s ) z ) d s s {\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}e^{-s}-{\frac {1}{(1+s)^{z}}}{\biggr )}{\frac {\mathrm {d} s}{s}}} ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − s s − e − z s 1 − e − s ) d s {\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {e^{-s}}{s}}-{\frac {e^{-zs}}{1-e^{-s}}}{\biggr )}\mathrm {d} s} ψ ( z ) = − γ + ∫ 1 ∞ s z − 1 − 1 s z ( s − 1 ) d s {\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{1}^{\infty }{\frac {s^{z-1}-1}{s^{z}(s-1)}}\mathrm {d} s} ψ ( z + 1 ) = ln z − 1 2 z − ∫ 0 ∞ ( 1 2 coth ( s 2 ) − 1 s ) e − z s d s {\displaystyle \psi (z+1)=\ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{2}}\operatorname {coth} \left({\dfrac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{s}}{\biggr )}e^{-zs}\mathrm {d} s} 但し、 coth ( s 2 ) {\displaystyle \coth \left({\frac {s}{2}}\right)} は双曲線余接関数を表す。 また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。 ψ ( y ) − ψ ( x ) = ∫ 0 1 u x − 1 − u y − 1 1 − u d u {\displaystyle \psi (y)-\psi (x)=\int _{0}^{1}{\frac {u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}}\mathrm {d} u}
※この「積分表示」の解説は、「ディガンマ関数」の解説の一部です。
「積分表示」を含む「ディガンマ関数」の記事については、「ディガンマ関数」の概要を参照ください。
- 積分表示のページへのリンク
