ハンケルの積分表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)
ガンマ関数は次の周回積分で表される。積分経路は正の無限大から実軸の上側に沿って原点に至り、原点を正の向きに回り、実軸の下側に沿って無限大に戻るものとする。但し、その偏角は − π ≤ arg ( − t ) ≤ π , 0 ≤ arg ( s ) ≤ 2 π {\displaystyle -\pi \leq \arg(-t)\leq \pi ,0\leq \arg(s)\leq 2\pi } とする。 Γ ( z ) = i 2 sin π z ∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t ( z ∈ C ∖ Z ) Γ ( z ) = 1 e 2 π i z − 1 ∫ C s z − 1 e − s d s ( z ∈ C ∖ Z ) 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C ( − t ) − z e − t d t ( z ∈ C ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi }z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}dt\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\&\Gamma (z)={\frac {1}{e^{2{\pi }iz}-1}}\int _{C}s^{z-1}e^{-s}ds\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\&{\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}dt\qquad (z\in \mathbb {C} )\\\end{aligned}}} これをハンケルの積分表示と呼ぶ。このハンケルの積分表示は、積分経路を適当に変形し、数値積分でガンマ関数の値を求めるために使われることがある。
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