ハンケルの積分表示の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/24 08:08 UTC 版)
「ガンマ関数」の記事における「ハンケルの積分表示の導出」の解説
極座標表示 ( − t ) = r e i θ {\displaystyle (-t)=re^{i\theta }} を用いると、実軸の上側に沿う部分は θ = − π {\displaystyle \theta =-\pi } で r = ∞ {\displaystyle r=\infty } から r = δ {\displaystyle r=\delta } まで、原点を回る部分は r = δ {\displaystyle r=\delta } で θ = − π {\displaystyle \theta =-\pi } から θ = π {\displaystyle \theta =\pi } まで、実軸の下側に沿う部分は θ = π {\displaystyle \theta =\pi } で r = δ {\displaystyle r=\delta } から r = ∞ {\displaystyle r=\infty } までとなる。 ∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t = ∫ ∞ δ ( r e − π i ) z − 1 e − r d r + ∫ − π π ( δ e i θ ) z − 1 e δ e i θ ( − i δ e i θ ) d θ + ∫ δ ∞ ( r e π i ) z − 1 e − r d r = ∫ ∞ δ r z − 1 e − π i ( z − 1 ) e − r d r − ∫ − π π i δ z e i θ z e δ e i θ d θ + ∫ δ ∞ r z − 1 e π i ( z − 1 ) e − r d r = ( − e − π i ( z − 1 ) + e π i ( z − 1 ) ) ∫ δ ∞ r z − 1 e − r d r − ∫ − π π i δ z e i θ z e δ e i θ d θ = − 2 i sin π z ∫ δ ∞ r z − 1 e − r d r − ∫ − π π i δ z e i θ z e δ e i θ d θ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}dt&=\int _{\infty }^{\delta }(re^{-{\pi }i})^{z-1}e^{-r}dr+\int _{-\pi }^{\pi }({\delta }e^{i\theta })^{z-1}e^{{\delta }e^{i\theta }}(-i{\delta }e^{i\theta })d\theta +\int _{\delta }^{\infty }(re^{{\pi }i})^{z-1}e^{-r}dr\\&=\int _{\infty }^{\delta }r^{z-1}e^{-{\pi }i(z-1)}e^{-r}dr-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}d\theta +\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{{\pi }i(z-1)}e^{-r}dr\\&=\left(-e^{-{\pi }i(z-1)}+e^{{\pi }i(z-1)}\right)\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{-r}dr-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}d\theta \\&=-2i\sin {\pi }z\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{-r}dr-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}d\theta \\\end{aligned}}} ℜ z > 0 {\displaystyle \Re {z}>0} とすると δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0} で δ z → 0 {\displaystyle \delta ^{z}\to 0} であるから ∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t = − 2 i sin π z ∫ 0 ∞ r z − 1 e − r d r = − 2 i sin π z Γ ( z ) ( ℜ z > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}dt&=-2i\sin {\pi }z\int _{0}^{\infty }r^{z-1}e^{-r}dr\\&=-2i\sin {\pi }z\Gamma (z)\qquad (\Re {z}>0)\\\end{aligned}}} である。しかし、左辺の被積分関数は z {\displaystyle z} が有界であるかぎり正則であるから、左辺は複素平面全体に解析接続する。従って、 Γ ( z ) = i 2 sin π z ∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t ( z ∈ C ∖ Z ) {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi }z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}dt\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )} である。 s = r e i θ {\displaystyle s=re^{i\theta }} とすれば、同様にして Γ ( z ) = 1 e 2 π i z − 1 ∫ C s z − 1 e − t d s ( z ∈ C ∖ Z ) {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{e^{2{\pi }iz}-1}}\int _{C}s^{z-1}e^{-t}ds\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )} を得る。また、相反公式により、 1 Γ ( z ) = sin π z π Γ ( 1 − z ) = i 2 π ∫ C ( − t ) − z e − t d t ( z ∈ C ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {\sin {\pi }z}{\pi }}\Gamma (1-z)={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}dt\qquad (z\in \mathbb {C} )} を得る。
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