積分表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/27 09:00 UTC 版)
また、アペリーの定数は様々な形の積分表示が発見されている。簡単なものでは ζ ( 3 ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 − x y z d x d y d z {\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {1}{1-xyz}}\,dxdydz} や、リーマン関数の公式を用いた ζ ( 3 ) = 1 2 ∫ 0 ∞ x 2 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx} または ζ ( 3 ) = 2 3 ∫ 0 ∞ x 2 e x + 1 d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx} 等がある。 この項目は、解析学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。
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積分表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:01 UTC 版)
「フルヴィッツのゼータ函数」の記事における「積分表現」の解説
フルヴィッツのゼータ函数は、メリン変換により積分表現され、 ℜ s > 1 {\displaystyle \Re \,s>1} と ℜ q > 0 {\displaystyle \Re \,q>0} に対し、 ζ ( s , q ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 e − q t 1 − e − t d t {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt} と表すことができる。
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