積分によるもの
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/09 02:09 UTC 版)
対数平均は指数関数を用いた面積として解釈することもできる。 M lm ( x , y ) = ∫ 0 1 x 1 − t y t d t = y − x ln y − ln x . {\displaystyle M_{\text{lm}}(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={\frac {y-x}{\ln {y}-\ln {x}}}.} この解釈により対数平均がもついくつかの基本的な特性を簡単に導出できる。指数関数は単調であるため、長さ 1 の区間での積分は x, y によって制限される。積分演算子の斉次性も対数平均に反映され、 M lm ( c x , c y ) = c M lm ( x , y ) {\displaystyle M_{\text{lm}}(cx,cy)=cM_{\text{lm}}(x,y)} となる。 以下のように、他にも対数平均を導く有用な積分表現がある。 1 M lm ( x , y ) = ∫ 0 1 d t t x + ( 1 − t ) y {\displaystyle {1 \over M_{\text{lm}}(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}} 1 M lm ( x , y ) = ∫ 0 ∞ d t ( t + x ) ( t + y ) {\displaystyle {1 \over M_{\text{lm}}(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}}
※この「積分によるもの」の解説は、「対数平均」の解説の一部です。
「積分によるもの」を含む「対数平均」の記事については、「対数平均」の概要を参照ください。
積分によるもの
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/09 02:09 UTC 版)
次の n+1 個の実数の組 S := { α 0 , … , α n ∣ α 0 + ⋯ + α n = 1 , α 0 ≥ 0 , … , α n ≥ 0 } {\displaystyle S:=\{\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\mid \alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1,\quad \alpha _{0}\geq 0,\dots ,\alpha _{n}\geq 0\}} を考える。このとき対数平均は M I ( x 0 , … , x n ) = ∫ S x 0 α 0 ⋅ ⋯ ⋅ x n α n d α {\displaystyle M_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha } と一般化される。これは指数関数の差商 exp[ln x0, ... , ln xn] を用いて簡単に書くことができ、 M I ( x 0 , … , x n ) = n ! exp [ ln x 0 , … , ln x n ] {\displaystyle M_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln {x_{0}},\dots ,\ln {x_{n}}\right]} となる。 たとえば n = 2 のとき、3変数 x, y, z の対数平均は以下となる。 M I ( x , y , z ) = − 2 x ( ln y − ln z ) + y ( ln z − ln x ) + z ( ln x − ln y ) ( ln x − ln y ) ( ln y − ln z ) ( ln z − ln x ) {\displaystyle M_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln {y}-\ln {z}\right)+y\left(\ln {z}-\ln {x}\right)+z\left(\ln {x}-\ln {y}\right)}{\left(\ln {x}-\ln {y}\right)\left(\ln {y}-\ln {z}\right)\left(\ln {z}-\ln {x}\right)}}}
※この「積分によるもの」の解説は、「対数平均」の解説の一部です。
「積分によるもの」を含む「対数平均」の記事については、「対数平均」の概要を参照ください。
- 積分によるもののページへのリンク
