積分による弧長の計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/18 01:35 UTC 版)
実函数 f (x) で、f および導函数 f ’ が閉区間 [a, b] 上の連続函数であるようなものを考えると、f のグラフの x = a から x = b までの間の弧長 s は s = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx} で与えられる。 曲線が x = X(t), y = Y(t) と媒介変数表示されている場合、f ’(x) = dy/dx = dy/dt / dx/dt であるから s = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ a b 1 + [ Y ′ ( t ) X ′ ( t ) ] 2 d x = ∫ a b 1 X ′ ( t ) [ X ′ ( t ) ] 2 + [ Y ′ ( t ) ] 2 d x = ∫ a b [ X ′ ( t ) ] 2 + [ Y ′ ( t ) ] 2 d x ⋅ d t d x = ∫ X − 1 ( a ) X − 1 ( b ) [ X ′ ( t ) ] 2 + [ Y ′ ( t ) ] 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[{\frac {Y'(t)}{X'(t)}}\right]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {1}{X'(t)}}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\cdot {\frac {dt}{dx}}\\&=\int _{X^{-1}(a)}^{X^{-1}(b)}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dt\end{aligned}}} が成り立つ。これらは、十分小さな増分 Δx, Δy に対する距離の公式から求めた式で、Δx, Δy の代わりにその極限を取ったものと考えればわかりよい。 また、極座標系において r = f (θ) で定義された函数の θ = α から θ = β までの間の弧長 s は s = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ {\displaystyle s=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{\!\!2}}}\,d\theta } で与えられる。 単純曲線まで含めても多くの場合、弧長は閉じた形の式では得られず、積分は数値的に行われることになる。弧長の閉じた形の公式を持つ曲線には、懸垂線、円、擺線、対数螺旋、抛物線、半立方抛物線、直線などが挙げられる。また、楕円の弧長の閉じた形の式を導こうとする試みから、楕円積分の理論が発展した。
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