閉じた形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 05:07 UTC 版)
上記の二つの漸化式から Vn+2 = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}2πVn⁄(n+2) であり、k に関して帰納的に V 2 k = π k k ! , V 2 k + 1 = 2 ( 2 π ) k ( 2 k + 1 ) ! ! = 2 k ! ( 4 π ) k ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle V_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}},\,V_{2k+1}={\frac {2(2\pi )^{k}}{(2k+1)!!}}={\frac {2k!(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}} を示すことは容易である。ただし !! は二重階乗を表す。これは奇数 2k + 1 に対して (2k + 1)!! = 1⋅3⋅5⋅…⋅(2k − 1)(2k + 1) と定義されている。 一般に、n-次元単位球体の（n-次元ユークリッド空間内での）体積は V n = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}} によって与えられる、ただし Γ はガンマ関数であり、Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1, Γ(x + 1) = xΓ(x) を満たす。 Vn に Rn を掛け、R について微分して R = 1 とおくと、閉じた形 S n − 1 = 2 π n / 2 Γ ( n 2 ) {\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}} を得る。
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