閉じた円錐曲線が、2定点からの距離の和が一定である点の集合であることの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/15 03:43 UTC 版)
「ダンドラン球面」の記事における「閉じた円錐曲線が、2定点からの距離の和が一定である点の集合であることの証明」の解説
直円錐を平面で切断して閉じた円錐曲線ができる場合を考える。いま、図のように頂点を S {\displaystyle S} とする円錐面の1葉の内部に2つの球面 G 1 {\displaystyle G_{1}} ， G 2 {\displaystyle G_{2}} が接しているとする( G 1 {\displaystyle G_{1}} と G 2 {\displaystyle G_{2}} は交点を持たない)。各球面と円錐面の接する部分は円である(図の白線)。これらを k 1 {\displaystyle k_{1}} , k 2 {\displaystyle k_{2}} とする。円錐面を G 1 {\displaystyle G_{1}} , G 2 {\displaystyle G_{2}} の両方に接するような平面 e {\displaystyle e} で切断し、球 G 1 {\displaystyle G_{1}} , G 2 {\displaystyle G_{2}} と平面 e {\displaystyle e} との接点をそれぞれ F 1 {\displaystyle F_{1}} , F 2 {\displaystyle F_{2}} とするとき、その円錐曲線上の任意の点 P {\displaystyle P} について距離の和 F 1 P + F 2 P {\displaystyle F_{1}P+F_{2}P} が一定であることを証明する。 円錐曲線上の任意の点 P {\displaystyle P} に対し直線 S P {\displaystyle SP} を考え、円 k 1 {\displaystyle k_{1}} , k 2 {\displaystyle k_{2}} との交点をそれぞれ P 1 {\displaystyle P_{1}} , P 2 {\displaystyle P_{2}} とする。また、球面 G 1 {\displaystyle G_{1}} , G 2 {\displaystyle G_{2}} の中心をそれぞれ M {\displaystyle M} , M ′ {\displaystyle M'} ,半径を r 1 {\displaystyle r_{1}} , r 2 {\displaystyle r_{2}} ( r 1 < r 2 {\displaystyle r_{1}<r_{2}} )とすると、 △ M F 1 P {\displaystyle \bigtriangleup MF_{1}P} は直角三角形なので、 F 1 P 2 = M P 2 − M F 1 2 = M P 2 − r 1 2 {\displaystyle F_{1}P^{2}=MP^{2}-MF_{1}^{2}=MP^{2}-r_{1}^{2}} △ M P 1 P {\displaystyle \bigtriangleup MP_{1}P} は直角三角形なので、 P 1 P 2 = M P 2 − M P 1 2 = M P 2 − r 1 2 {\displaystyle P_{1}P^{2}=MP^{2}-MP_{1}^{2}=MP^{2}-r_{1}^{2}} よって F 1 P = P 1 P {\displaystyle F_{1}P=P_{1}P} △ M ′ F 2 P {\displaystyle \bigtriangleup M'F_{2}P} , △ M ′ F 2 P {\displaystyle \bigtriangleup M'F_{2}P} についても同様にして、 F 2 P = P 2 P {\displaystyle F_{2}P=P_{2}P} よって、 F 1 P + F 2 P = P 1 P + P P 2 = P 1 P 2 {\displaystyle F_{1}P+F_{2}P=P_{1}P+PP_{2}=P_{1}P_{2}} P 1 P 2 = M M ′ 2 − ( r 2 − r 1 ) 2 {\displaystyle P_{1}P_{2}={\sqrt {MM'^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}}} なので、この値は球面 G 1 {\displaystyle G_{1}} , G 2 {\displaystyle G_{2}} が与えられたときに決定している。 よって、この円錐曲線は2定点からの距離の和が一定である点の集合である。 この証明はペルガのアポロニウスの証明とは異なる流れである。 (楕円は円錐断面と軸のなす角や離心率によっても定義できるが)もし楕円の定義を「2定点からの距離の和が一定である点の集合」とするならば、上記の証明はこの円錐曲線が楕円であることを示している。 この証明は双曲線、放物線に対しても応用できる。 さらに平面と円柱との交差としての楕円についても応用できる。
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