線型微分方程式とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

線型微分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/14 23:49 UTC 版)

線型微分方程式^{[注 1]}（せんけいびぶんほうていしき、英: linear differential equation）は、微分を用いた線型作用素（線型微分作用素） $L$ と未知関数 $y$ と既知関数 $b$ を用いて

^ 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。
^ ^a ^b ^c ここでいう homogeneous は斉次函数のような次数に関する語ではなく、解函数あるいは解空間のある種の「等質性」を表すために用いられており、むしろ等質空間などでの語法が近い。しかし、斉次（形、方程式）・同次（形、方程式）と訳すのが定訳であり、等質方程式や非等質形のように呼ぶことはないかあってもかなり稀。
^ つまり基本解の線型結合
^ つまり、基本解になる。

「線型微分方程式」の続きの解説一覧

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 07:15 UTC 版)

「行列指数関数」の記事における「線型微分方程式」の解説

詳細は「行列微分方程式（英語版）」を参照行列の指数函数が重要であることの一つの理由として、常微分方程式系の解を求める際に使うことができることが挙げられる。以下の方程式 d d t y ( t ) = A y ( t ) , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay (t),\quad y(0)=y_{0}} の解は、A を定行列として、次のように与えられる。 y ( t ) = e A t y 0 {\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}} 行列の指数関数はまた以下の様な非等質微分方程式に対しても有効である。 d d t y ( t ) = A y ( t ) + z ( t ) , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay (t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}} A が定行列でないとき、 d d t y ( t ) = A ( t ) y ( t ) , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}} の形の微分方程式は解を閉じた形の式として陽に表すことはできないが、マグヌス級数（英語版）が無限和の形で解を与える。

※この「線型微分方程式」の解説は、「行列指数関数」の解説の一部です。
「線型微分方程式」を含む「行列指数関数」の記事については、「行列指数関数」の概要を参照ください。

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