線型微分方程式とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

タイプ

変数のタイプにより
常偏微分代数（英語版）積分微分分数階線型非線形
独立変数と従属変数（英語版）自律微分方程式複素 Coupled / Decoupled 完全（英語版）斉次（英語版） / 非斉次（英語版）
特徴
階数（英語版）作用素記法

線型微分方程式^{[注 1]}（せんけいびぶんほうていしき、英: linear differential equation）は、微分を用いた線型作用素（線型微分作用素） $L$ と未知関数 $y$ と既知関数 $b$ を用いて

Ly = b

の形に書かれる微分方程式のこと。

概要

線型微分方程式

Ly=b

線型微分方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 07:15 UTC 版)

「行列指数関数」の記事における「線型微分方程式」の解説

詳細は「行列微分方程式（英語版）」を参照行列の指数函数が重要であることの一つの理由として、常微分方程式系の解を求める際に使うことができることが挙げられる。以下の方程式 d d t y ( t ) = A y ( t ) , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}} の解は、A を定行列として、次のように与えられる。 y ( t ) = e A t y 0 {\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}} 行列の指数関数はまた以下の様な非等質微分方程式に対しても有効である。 d d t y ( t ) = A y ( t ) + z ( t ) , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}} A が定行列でないとき、 d d t y ( t ) = A ( t ) y ( t ) , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}} の形の微分方程式は解を閉じた形の式として陽に表すことはできないが、マグヌス級数（英語版）が無限和の形で解を与える。

※この「線型微分方程式」の解説は、「行列指数関数」の解説の一部です。
「線型微分方程式」を含む「行列指数関数」の記事については、「行列指数関数」の概要を参照ください。

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