線型微分作用素の特性曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/04 07:28 UTC 版)
「特性曲線法」の記事における「線型微分作用素の特性曲線」の解説
X を可微分多様体とし、P を次数 k の線型微分作用素 P : C ∞ ( X ) → C ∞ ( X ) {\displaystyle P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)} とする。局所座標系 xi においては P = ∑ | α | ≤ k P α ( x ) ∂ ∂ x α {\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}} とする。ここで α は多重指数である。P の主表象は σP と表され、これはそれらの局所座標系において定義される余接束 T∗X に関する次の函数である。 σ P ( x , ξ ) = ∑ | α | = k P α ( x ) ξ α {\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }} ここに ξi は座標微分 dxi によって導かれる余接束上のファイバー座標である。これは特定の座標系を用いることで定義されるが、ξi と xi を関連づける変換則は σP がその余接束上で well-defined な函数であることを保証するものである。 函数 σP は変数 ξ について次数 k の斉次函数である。σP のゼロ解は、T∗X のゼロ切断とは離れた所にあり、P の特性曲線である。式 F(x) = c によって定義される X の超曲面が、x での特性超曲面であるとは、 σ P ( x , d F ( x ) ) = 0 {\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x))=0} が成立することを言う。特性超曲面は、余法束（英語版）が P の特性集合に属する超曲面である。
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