線型変換の下での挙動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 04:59 UTC 版)
A を X から Y への有界線型作用素とする。X 上の任意の凸函数 f に対して、次が成り立つ。 ( A f ) ⋆ = f ⋆ A ⋆ {\displaystyle \left(Af\right)^{\star }=f^{\star }A^{\star }} ここで ( A f ) ( y ) = inf { f ( x ) : x ∈ X , A x = y } {\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}} は f の A に関する原像であり、A* は A の共役作用素である。 閉凸函数 f は、ある与えられた直交線型変換の集合 G に関して対称である、すなわち f ( A x ) = f ( x ) , ∀ x , ∀ A ∈ G {\displaystyle f\left(Ax\right)=f(x),\;\forall x,\;\forall A\in G} であるための必要十分条件は、凸共役 f* が G に関して対称であることである。
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