原像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/06 14:32 UTC 版)
f: X → Y を（必ずしも可逆でない）任意の写像とするとき、Y の元 y の原像または逆像が、f によって y に写される X の元全体の成す集合 f − 1 ( { y } ) = { x ∈ X : f ( x ) = y } {\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\in X:f(x)=y\}} として定まる。y の原像は、全逆写像による y の像（完全逆像）として考えることができる。 同様に、S を終域 Y の任意の部分集合とすると、S の f による原像が、f によって S へ写される X の元全体からなる集合 f − 1 ( S ) = { x ∈ X : f ( x ) ∈ S } {\displaystyle f^{-1}(S)=\{x\in X:f(x)\in S\}} として定まる。たとえば、函数 f: R → R; x ↦ x2 を考えると、この函数は既に述べたように可逆ではないが、しかし終域の部分集合に対する原像は定義できて、たとえば f − 1 ( { 1 , 4 , 9 , 16 } ) = { − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}} となる。一つの元 y ∈ Y の原像（同じことだが、一元集合 {y} の原像）は、y のファイバー (fiber) と呼ばれることもある。Y が実数全体からなる集合のとき、f −1 は等位集合として言及されることも多い。
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