ラグランジュの未定乗数法

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ラグランジュの未定乗数法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/01 02:59 UTC 版)

ラグランジュの未定乗数法（ラグランジュのみていじょうすうほう、英: method of Lagrange multiplier）とは、束縛条件のもとで最適化を行うための数学（解析学）的な方法である。いくつかの変数に対して、いくつかの関数の値を固定するという束縛条件のもとで、別のある1つの関数の極値を求めるという問題を考える。各束縛条件に対して定数（未定乗数、Lagrange multiplier）を用意し、これらを係数とする線形結合を新しい関数（未定乗数も新たな変数とする）として考えることで、束縛問題を普通の極値問題として解くことができる方法である。

定理

ラグランジュの未定乗数法は、次のような定理として記述される。

2次元の場合

束縛条件 g(x, y) = 0 の下で、f(x, y) が最大値となる点 (a , b) を求める問題、つまり

maximize $f(x,y),$

図1：束縛条件 g (x,y ) = c に対して関数 f (x,y ) を最大化する場合。

図2：図1の等高線地図。赤い線は束縛条件 g(x, y) = c を示す。青い線は f(x, y) の等高線。赤い線が青い等高線に接する点が解。

簡単のため2次元の場合を考えよう。g (x, y) = c（ここで c は与えられた定数である）という条件の下、関数 f (x, y) を最大化するものとしよう。f の値を高さとしたグラフを考えると、高さが d の f の等高線は f (x, y) = d で与えられる。ここで、任意の曲線に沿って移動する点を考えると、この点が等高線を横切る場合、必ず f (x, y) は増加、もしくは減少するが、この点が等高線に沿って移動する場合は f (x, y) は変化しないことが分かる。この条件と通常の極値の条件を合わせて考えれば、曲線上で f (x, y) が最大をとる点では、f の等高線の接線と曲線の接線が平行となっているか、f の勾配がゼロとなっていることが分かる。ここで g (x, y) = c の接線は、g の勾配ベクトル ∇_x,y g と直交し、また f の等高線 f (x, y) = d の接線は f の勾配ベクトル ∇_x,y f と直交することを踏まえると、前述の条件は

$\nabla _{x,y}f=\lambda \nabla _{x,y}g$

この節の加筆が望まれています。 （2021年10月）

解析力学

作用積分が S[q] で与えられる物理系に n 個の拘束条件 ϕ^a(q, t) = 0, (a = 1, ..., n) が課せられているとき、この系の運動方程式は λ_a を未定乗数とする条件付き変分

${\frac {\delta S}{\delta q}}+\sum _{a=1}^{n}\lambda _{a}{\frac {\partial \phi ^{a}}{\partial q}}=0$

Optimization computes maxima and minima.

非線形（制約付き）

凸最適化

組合せ最適化

メタヒューリスティクス

• 進化的アルゴリズム（進化戦略）
• 山登り法
• 局所探索法
• 焼きなまし法
• タブーサーチ
• ベイスンホッピング法

• カテゴリ（最適化 • アルゴリズム） • ソフトウェア

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ラグランジュの未定乗数法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/28 14:27 UTC 版)

「凸最適化」の記事における「ラグランジュの未定乗数法」の解説

標準形に表された凸最小化問題を考える。コスト関数を f ( x ) 、不等式制約を g i ( x ) ≤ 0 ( i = 1 … m ) とすると、定義域 X は X = { x ∈ X | g 1 ( x ) ≤ 0 , … , g m ( x ) ≤ 0 } . この問題に対するラグランジュ関数は L(x,λ0,...,λm) = λ0f(x) + λ1g1(x) + ... + λmgm(x). X上の関数fを最小化するX上の点xに関して実数値のラグランジュ係数λ0, ..., λmが存在し、以下を満たす。 X上のすべての変数に関してxはL(y, λ0, λ1, ..., λm) を最小化する λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, ..., λm ≥ 0, 少なくともひとつは λk>0, λ1g1(x) = 0, ..., λmgm(x) = 0 (相補スラック性).