ラグランジュの未定乗数法とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

ラグランジュの未定乗数法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/01 02:59 UTC 版)

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ラグランジュの未定乗数法（ラグランジュのみていじょうすうほう、英: method of Lagrange multiplier）とは、束縛条件のもとで最適化を行うための数学（解析学）的な方法である。いくつかの変数に対して、いくつかの関数の値を固定するという束縛条件のもとで、別のある1つの関数の極値を求めるという問題を考える。各束縛条件に対して定数（未定乗数、Lagrange multiplier）を用意し、これらを係数とする線形結合を新しい関数（未定乗数も新たな変数とする）として考えることで、束縛問題を普通の極値問題として解くことができる方法である。

定理

ラグランジュの未定乗数法は、次のような定理として記述される。

2次元の場合

束縛条件 $g (x, y) = 0$ の下で、 $f (x, y)$ が最大値となる点 $(a, b)$ を求める問題、つまり

maximize

f(x,y),

一般

微分可能

内点法

基底-交換

その他

最小全域木

最短経路問題

ラグランジュの未定乗数法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/28 14:27 UTC 版)

「凸最適化」の記事における「ラグランジュの未定乗数法」の解説

標準形に表された凸最小化問題を考える。コスト関数を f ( x ) {\displaystyle f(x)} 、不等式制約を g i ( x ) ≤ 0 ( i = 1 … m ) {\displaystyle g_{i}(x)\leq 0(i=1\ldots m)} とすると、定義域 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} は X = { x ∈ X | g 1 ( x ) ≤ 0 , … , g m ( x ) ≤ 0 } . {\displaystyle {\mathcal {X}}=\left\lbrace {x\in X\vert g_{1}(x)\leq 0,\ldots ,g_{m}(x)\leq 0}\right\rbrace .} この問題に対するラグランジュ関数は L(x,λ0,...,λm) = λ0f(x) + λ1g1(x) + ... + λmgm(x). X 上の関数fを最小化するX上の点xに関して実数値のラグランジュ係数λ0, ..., λmが存在し、以下を満たす。 X上のすべての変数に関してxはL(y, λ0, λ1, ..., λm) を最小化する λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, ..., λm ≥ 0, 少なくともひとつは λk>0, λ1g1(x) = 0, ..., λmgm(x) = 0 (相補スラック性).

※この「ラグランジュの未定乗数法」の解説は、「凸最適化」の解説の一部です。
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