一般の多次元の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 08:15 UTC 版)
「ラグランジュの未定乗数法」の記事における「一般の多次元の場合」の解説
n 次元空間の点 x = (x1,..., xn) のある領域 R を定義域とする被評価関数 z = f(x) が、同じ領域を定義域とする m 次元ベクトル値関数 G ( x ) = ( g 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ g m ( x 1 , … , x n ) ) = 0 ( 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}})={\begin{pmatrix}g_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\g_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{pmatrix}}={\boldsymbol {0}}\qquad (1)} のもとで、R 内の点 x において極値をとるための必要条件は、その点における f の勾配ベクトル ∇ f = t ( ∂ f ∂ x 1 , … , ∂ f ∂ x n ) {\displaystyle \nabla f={}^{t}{\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\dfrac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}} が、その点で、m 個の gi それぞれの勾配ベクトルが張る m 次元線型部分空間に含まれること、すなわち、スカラーの組 λ = (λ1,..., λm ) を用いて、 ∇ f = ∑ i = 1 m λ i ∇ g i ( 2 ) {\displaystyle \nabla f=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\nabla g_{i}\qquad (2)} が成り立つことである。移項して ∇ を取れば、 f ( x ) − ∑ i = 1 m λ i g i ( x ) {\displaystyle f({\boldsymbol {x}})-\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}g_{i}({\boldsymbol {x}})} が停留点をとることである。ただし、{∇g1,...,∇gm } は一次独立、すなわち dim ( ∇ g 1 , … , ∇ g m ) = m {\displaystyle \dim(\nabla g_{1},\dots ,\nabla g_{m})=m} でなければならない。式(1)の m 本と式(2)の n 本の式を連立させて、x と λ の (n + m ) 個の未知数について解けば、f の極値を与える候補点が得られる。
※この「一般の多次元の場合」の解説は、「ラグランジュの未定乗数法」の解説の一部です。
「一般の多次元の場合」を含む「ラグランジュの未定乗数法」の記事については、「ラグランジュの未定乗数法」の概要を参照ください。
- 一般の多次元の場合のページへのリンク
