一般の媒質中
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/12 03:23 UTC 版)
「マクスウェルの方程式」の記事における「一般の媒質中」の解説
電荷密度と電流密度が作る場である D , H {\displaystyle {\boldsymbol {D}},~{\boldsymbol {H}}} と、電荷密度と電流密度に力を及ぼす場である E , B {\displaystyle {\boldsymbol {E}},~{\boldsymbol {B}}} は分極 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} と磁化 M {\displaystyle {\boldsymbol {M}}} を介して以下のように関連付けられる。 D = ε 0 E + P H = μ 0 − 1 B − M {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}\\{\boldsymbol {H}}&=\mu _{0}^{-1}{\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {M}}\end{aligned}}} 真空中では P = M = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {0}}} となる。 E-H対応の場合は磁気に関する構成方程式が B = μ 0 H + P m {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {H}}+{\boldsymbol {P}}_{\mathrm {m} }} となる。 P m {\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{\mathrm {m} }} は磁気分極（または単に磁化）と呼ばれ、 M {\displaystyle {\boldsymbol {M}}} とは違う次元をもつ。 「E-B対応とE-H対応」も参照 構成方程式による源場（ D , H {\displaystyle {\boldsymbol {D}},~{\boldsymbol {H}}} ）と力場（ E , B {\displaystyle {\boldsymbol {E}},~{\boldsymbol {B}}} ）の関係を使ってマクスウェル方程式の源場に関する式を力場で表すと { ∇ ⋅ E = 1 ε 0 ( ρ − ∇ ⋅ P ) ∇ × B − μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t = μ 0 ( j + ∂ P ∂ t + ∇ × M ) {\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot {\boldsymbol {E}}={\dfrac {1}{\varepsilon _{0}}}(\rho -\nabla \cdot {\boldsymbol {P}})\\\nabla \times {\boldsymbol {B}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\dfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}=\mu _{0}\left({\boldsymbol {j}}+{\dfrac {\partial {\boldsymbol {P}}}{\partial t}}+\nabla \times {\boldsymbol {M}}\right)\end{cases}}} となる。さらに分極電荷密度、分極電流密度、磁化電流密度を ρ P = − ∇ ⋅ P j P = ∂ P ∂ t j M = ∇ × M {\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{P}&=-\nabla \cdot {\boldsymbol {P}}\\{\boldsymbol {j}}_{P}&={\frac {\partial {\boldsymbol {P}}}{\partial t}}\\{\boldsymbol {j}}_{M}&=\nabla \times {\boldsymbol {M}}\end{aligned}}} として導入すれば、方程式は以下のように書ける。 { ∇ ⋅ E = 1 ε 0 ( ρ + ρ P ) ∇ × B − μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t = μ 0 ( j + j P + j M ) {\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot {\boldsymbol {E}}={\dfrac {1}{\varepsilon _{0}}}(\rho +\rho _{P})\\\nabla \times {\boldsymbol {B}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\dfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}=\mu _{0}\left({\boldsymbol {j}}+{\boldsymbol {j}}_{P}+{\boldsymbol {j}}_{M}\right)\end{cases}}}
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