一般の存在定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/14 15:53 UTC 版)
より一般に、空間が完備である場合も含めて、不連続線型写像の存在を証明することができる。K は実数体 R または複素数体 C であるものとして、X, Y を体 K 上のノルム空間で、X は無限次元、Y は零ベクトル空間でないと仮定する。ここで、X から K への不連続線型写像 f が求まれば、Y の勝手な非零元 y0 に対して g(x) = f(x)y0 と置くことで、X から Y への不連続線型写像 g の存在が言える。 そこで、無限次元空間 X に対して連続でない線型汎函数の存在を、非有界な f を様々構成することによって示す。そういうわけで、X の線型独立なベクトルからなる列 (en)n (n ≥ 1) を考え、各 n = 1, 2, … に対して T ( e n ) = n ∥ e n ∥ {\displaystyle T(e_{n})=n\|e_{n}\|} と定める。この線型独立なベクトルからなる列を延長して X の基底を得、上記の元以外の基底ベクトルにおける T の値を零と定めて、T を X 上の線型写像に一意的に拡張することができる。得られた線型写像は明らかに有界でないから、これは連続でない。 ここで、任意の線型独立系を基底に延長することができるという事実を用いたから、そこに暗黙の裡に選択公理が使われていることに注意すべきである（前掲の具体例では選択公理を必要としない）。
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