一般の媒介変数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/03/30 15:24 UTC 版)
媒介変数 t が弧長変数 s でない場合は少々込み入った形になるが、γ(t) = (x(t), y(t)) を曲線 γ の媒介変数表示とすれば、その縮閉線の媒介変数表示は、曲率半径 R = 1/k と接線角（tangent angle; 接線が始線、つまり x-軸と成す角度）φ を用いた式に表すことができる。R と φ を用いた縮閉線の媒介変数表示は ( X , Y ) = ( x , y ) + R N = ( x − R sin φ , y + R cos φ ) {\displaystyle (X,Y)=(x,y)+R{\boldsymbol {N}}=(x-R\sin \varphi ,y+R\cos \varphi )} で与えられる。ここで単位法ベクトル N = (−sinφ, cosφ) は単位接ベクトル T = (cosφ, sinφ) を90度回転させて得られる。 もちろん、縮閉線の式を x, y およびその導函数のみを用いて表すこともできる。実際、 ( cos φ , sin φ ) = ( x ′ , y ′ ) ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 1 / 2 , R = 1 / k = ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 x ′ y ″ − x ″ y ′ {\displaystyle (\cos \varphi ,\sin \varphi )={\frac {(x',y')}{(x'^{2}+y'^{2})^{1/2}}},\quad R=1/k={\frac {(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}{x'y''-x''y'}}} { X [ x , y ] = x − y ′ x ′ 2 + y ′ 2 x ′ y ″ − x ″ y ′ Y [ x , y ] = y + x ′ x ′ 2 + y ′ 2 x ′ y ″ − x ″ y ′ {\displaystyle {\begin{cases}X[x,y]=x-y'{\dfrac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}\\[10pt]Y[x,y]=y+x'{\dfrac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}\end{cases}}} が得られる。
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