一般の場合のシュレディンガー方程式の解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「一般の場合のシュレディンガー方程式の解」の解説
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を状態空間とし、Hを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の（有界とは限らない）自己共役作用素とする。このとき e x p ( t H ) {\displaystyle \mathrm {exp} (tH)} を作用素解析の手法により定義し、 ψ ( t ) := e x p ( − i t ℏ H ) ( ψ ) {\displaystyle \psi (t):=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)(\psi )} とすると次が成立する： 定理 ― ψ ( t ) := e x p ( − i t ℏ H ) ( ψ ) {\displaystyle \psi (t):=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)(\psi )} はシュレディンガー方程式の解である新井(p233)。 実際、前節で述べた事と強微分の定義から、 i ℏ d d t ψ ( t ) {\displaystyle i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\psi (t)} = i ℏ lim t → 0 e x p ( − i t ℏ H ) ( ψ ) − ψ t {\displaystyle =i\hbar \lim _{t\to 0}{\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)(\psi )-\psi \over t}} = H ( ψ ) {\displaystyle =H(\psi )} が成立する。さらに作用素解析の定義より、 e x p ( 0 H ) {\displaystyle \mathrm {exp} \left(0H\right)} = ∫ σ ( H ) e x p ( 0 λ ) d μ ( ψ ) {\displaystyle =\int _{\sigma (H)}\mathrm {exp} (0\lambda )\mathrm {d} \mu (\psi )} = ∫ σ ( H ) d μ ( ψ ) = i d {\displaystyle =\int _{\sigma (H)}\mathrm {d} \mu (\psi )=\mathrm {id} } である。最後の等号は作用素値積分の定義より従う。よって ψ ( 0 ) = e x p ( 0 H ) ( ψ ) = ψ {\displaystyle \psi (0)=\mathrm {exp} \left(0H\right)(\psi )=\psi } となり、ψ(t)はシュレディンガー方程式の解となる。
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