一般の場合での順序統計量の同時確率
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/22 22:48 UTC 版)
「順序統計量」の記事における「一般の場合での順序統計量の同時確率」の解説
一様分布での結果の応用として、一般の分布の n 個の標本抽出における k 個目の順序統計量 X(k) の分布を考える。X(k) の累積分布関数 FX(k) に対し、 fX(k)が対応する確率密度関数とする。このとき、一様分布への変数変換 U ( k ) = F X ( k ) ( x ) {\displaystyle U_{(k)}=F_{X(k)}(x)} を行い、fX(k) に前述の一様分布におけるfU(k) (u) の結果を代入すれば、次の確率密度関数が導かれる。 f X ( k ) ( x ) d x = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! [ F X ( x ) ] k − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − k f X ( x ) d x {\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)~dx={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)~dx} 同様に2つの累積分布関数 FX(j)、FX(k) に対し、 fX(j)、fX(k)が対応する確率密度関数とする。このとき、一様分布への変数変換 U ( j ) = F X ( j ) ( x ) , U ( k ) = F X ( k ) ( y ) {\displaystyle U_{(j)}=F_{X(j)}(x),\quad U_{(k)}=F_{X(k)}(y)} を行い、fX(i),X(j)に先ほどの一様分布における同時確率分布fU(i),U(j)(u, v)の結果を代入すれば、次式を得る。 f X ( j ) , X ( k ) ( x , y ) d x d y = n ! [ F X ( x ) ] j − 1 ( j − 1 ) ! [ F X ( y ) − F X ( x ) ] k − 1 − j ( k − 1 − j ) ! [ 1 − F X ( y ) ] n − k ( n − k ) ! f X ( x ) f X ( y ) d x d y {\displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x,y)~dx~dy=n!{\frac {[F_{X}(x)]^{j-1}}{(j-1)!}}{\frac {[F_{X}(y)-F_{X}(x)]^{k-1-j}}{(k-1-j)!}}{\frac {[1-F_{X}(y)]^{n-k}}{(n-k)!}}f_{X}(x)f_{X}(y)~dx~dy} 同様に高次の場合について考えれば、次式を得る。 f X ( 1 ) , … , X ( n ) ( x 1 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n = n ! f X ( x 1 ) ⋯ f X ( x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle f_{X_{(1)},\dots ,X_{(n)}}(x_{1},\dots ,x_{n})~dx_{1}\dotsb dx_{n}=n!f_{X}(x_{1})\dotsb f_{X}(x_{n})~dx_{1}\dotsb dx_{n}} 但し、x1 < x2 < … < xnとする。
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