2次元の場合とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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2次元の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 01:34 UTC 版)

「コリオリの力」の記事における「2次元の場合」の解説

慣性系 O − x y {\displaystyle O-xy} に対して原点のまわりを一定の角速度 ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} で回転する座標系 O − x ′ y ′ {\displaystyle O-x'y'} で質点Pに力 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} が働く場合を考える。あるベクトル q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} の成分が慣性系では q = [ q x q y ] {\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\begin{bmatrix}q_{x}\\q_{y}\end{bmatrix}}} 回転座標系では q ′ = [ q x ′ q y ′ ] {\displaystyle {\boldsymbol {q'}}={\begin{bmatrix}q'_{x}\\q'_{y}\end{bmatrix}}} と表されるとき図1,2より q {\displaystyle {\boldsymbol {q}}} は q ′ {\displaystyle {\boldsymbol {q'}}} を原点Oのまわりに ω t {\displaystyle \omega t} だけ回転したものになるので q = R ( ω t ) q ′ {\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {q'}}} と表される。 R ( θ ) = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] {\displaystyle {\boldsymbol {R}}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}} と定義する。すると質点 P {\displaystyle P} の位置ベクトル r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} と回転座標系でみたベクトル r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r'}}} の関係は r = R ( ω t ) r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {r'}}} と表される。両辺を時刻 t {\displaystyle t} で微分して v = d r d t = d R ( ω t ) d t r ′ + R ( ω t ) d r ′ d t = ω R ( ω t + π / 2 ) r ′ + R ( ω t ) v ′ {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}&={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\\&={\frac {d{\boldsymbol {R}}(\omega t)}{dt}}{\boldsymbol {r'}}+{\boldsymbol {R}}(\omega t){\frac {d{\boldsymbol {r'}}}{dt}}\\&=\omega {\boldsymbol {R}}(\omega t+\pi /2){\boldsymbol {r'}}+{\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {v'}}\end{aligned}}} さらに t {\displaystyle t} で微分して a = d 2 r d t 2 = ω d R ( ω t + π / 2 ) d t r ′ + ω R ( ω t + π / 2 ) d r ′ d t + d R ( ω t ) d t v ′ + R ( ω t ) d v ′ d t = ω 2 R ( ω t + π ) r ′ + 2 ω R ( ω t + π / 2 ) v ′ + R ( ω t ) a ′ = − ω 2 R ( ω t ) r ′ + 2 ω R ( ω t + π / 2 ) v ′ + R ( ω t ) a ′ {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}\\&=\omega {\frac {d{\boldsymbol {R}}(\omega t+\pi /2)}{dt}}{\boldsymbol {r'}}+\omega {\boldsymbol {R}}(\omega t+\pi /2){\frac {d{\boldsymbol {r'}}}{dt}}+{\frac {d{\boldsymbol {R}}(\omega t)}{dt}}{\boldsymbol {v'}}+{\boldsymbol {R}}(\omega t){\frac {d{\boldsymbol {v'}}}{dt}}\\&=\omega ^{2}{\boldsymbol {R}}(\omega t+\pi ){\boldsymbol {r'}}+2\omega {\boldsymbol {R}}(\omega t+\pi /2){\boldsymbol {v'}}+{\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {a'}}\\&=-\omega ^{2}{\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {r'}}+2\omega {\boldsymbol {R}}(\omega t+\pi /2){\boldsymbol {v'}}+{\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {a'}}\end{aligned}}} ……(1) d R ( ω t ) d t = d ( ω t ) d t d R ( ω t ) d ( ω t ) = ω R ( ω t + π / 2 ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {R}}(\omega t)}{dt}}={\frac {d(\omega t)}{dt}}{\frac {d{\boldsymbol {R}}(\omega t)}{d(\omega t)}}=\omega {\boldsymbol {R}}(\omega t+\pi /2)} ここでは R ( ω t + π ) = − R ( ω t ) {\displaystyle {\boldsymbol {R}}(\omega t+\pi )=-{\boldsymbol {R}}(\omega t)} を用いた。ベクトル F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} と回転座標系でみたベクトル F ′ {\displaystyle {\boldsymbol {F'}}} の関係は F = R ( ω t ) F ′ {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {F'}}} ……(2) と表される。運動方程式 F = m a {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}} に(1)と(2)を代入して R ( ω t ) F ′ = − m ω 2 R ( ω t ) r ′ + 2 m ω R ( ω t + π / 2 ) v ′ + R ( ω t ) m a ′ {\displaystyle {\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {F'}}=-m\omega ^{2}{\boldsymbol {R}}(\omega t){\boldsymbol {r'}}+2m\omega {\boldsymbol {R}}(\omega t+\pi /2){\boldsymbol {v'}}+{\boldsymbol {R}}(\omega t)m{\boldsymbol {a'}}} 両辺に R ( − ω t ) {\displaystyle {\boldsymbol {R}}(-\omega t)} をかけて F ′ = − m ω 2 r ′ + 2 m ω R ( π / 2 ) v ′ + m a ′ {\displaystyle {\boldsymbol {F'}}=-m\omega ^{2}{\boldsymbol {r'}}+2m\omega {\boldsymbol {R}}(\pi /2){\boldsymbol {v'}}+m{\boldsymbol {a'}}} 式変形して m a ′ = F ′ + m ω 2 r ′ − 2 m ω R ( π / 2 ) v ′ {\displaystyle m{\boldsymbol {a'}}={\boldsymbol {F'}}+m\omega ^{2}{\boldsymbol {r'}}-2m\omega {\boldsymbol {R}}(\pi /2){\boldsymbol {v'}}} すなわち回転座標系から物体を見た場合実際の力 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} のほかに m ω 2 r ′ {\displaystyle m\omega ^{2}{\boldsymbol {r'}}} と 2 m ω R ( π / 2 ) v ′ {\displaystyle 2m\omega {\boldsymbol {R}}(\pi /2){\boldsymbol {v'}}} の力が働いているように見える。この 2 m ω R ( π / 2 ) v ′ {\displaystyle 2m\omega {\boldsymbol {R}}(\pi /2){\boldsymbol {v'}}} は、見かけの力でコリオリの力という。コリオリの力は速度 v ′ {\displaystyle v'} の方向と回転軸の方向 ω {\displaystyle \omega } の両方に垂直である。 m ω 2 r ′ {\displaystyle m\omega ^{2}{\boldsymbol {r'}}} は、質点を回転軸に垂直に引き離そうとする見かけの力で遠心力という。

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「2次元の場合」を含む「コリオリの力」の記事については、「コリオリの力」の概要を参照ください。

2次元の場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 08:15 UTC 版)

「ラグランジュの未定乗数法」の記事における「2次元の場合」の解説

束縛条件 g(x, y) = 0 のもとで、f(x, y) が最大値となる点 (a , b) を求める問題、つまり maximize f ( x , y ) , {\displaystyle f(x,y),} subject to g ( x , y ) = 0 {\displaystyle g(x,y)=0} という問題を考える。ラグランジュ乗数を λ とし、 F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) − λ g ( x , y ) {\displaystyle F(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda g(x,y)} とおく。点 (a, b) で ∂g/∂x と ∂g/∂y の少なくとも一方が 0 でないならば、α が存在して点 (a, b, α) で ∂ F ∂ x = ∂ F ∂ y = ∂ F ∂ λ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {\partial F}{\partial y}}={\frac {\partial F}{\partial \lambda }}=0} が成り立つ。