2次元での変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/12 08:03 UTC 版)
デジタル画像処理では2次元変換が画像の周波数成分を解析するのに使われる。 変換は以下のように定義される。 F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − 2 π i ( u x M + v y N ) {\displaystyle F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-2\pi i\left({\frac {ux}{M}}+{\frac {vy}{N}}\right)}} そして逆変換は次のようになる。 f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e 2 π i ( u x M + v y N ) {\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{MN}}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{2\pi i\left({\frac {ux}{M}}+{\frac {vy}{N}}\right)}} 但し f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} は2次元信号(例えば画像)であり、fのx列y行成分のことである。 F ( u , v ) {\displaystyle F(u,v)} は f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} の2次元周波数スペクトラムである。ここでuはx成分の周波数、vはy成分の周波数である。 2次元DFT は行列を用いて簡単に記述できる。 F = W f T W {\displaystyle F=Wf^{T}W} ここで F = [ F ( 0 , 0 ) F ( 1 , 0 ) … F ( M − 1 , 0 ) F ( 0 , 1 ) F ( 1 , 1 ) … F ( M − 1 , 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ F ( 0 , N − 1 ) F ( 1 , N − 1 ) … F ( M − 1 , N − 1 ) ] {\displaystyle F={\begin{bmatrix}F(0,0)&F(1,0)&\ldots &F(M-1,0)\\F(0,1)&F(1,1)&\ldots &F(M-1,1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(0,N-1)&F(1,N-1)&\ldots &F(M-1,N-1)\end{bmatrix}}} W = [ ω n 0 ⋅ 0 ω n 0 ⋅ 1 … ω n 0 ⋅ ( N − 1 ) ω n 1 ⋅ 0 ω n 1 ⋅ 1 … ω n 1 ⋅ ( N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ω n ( N − 1 ) ⋅ 0 ω n ( N − 1 ) ⋅ 1 … ω n ( N − 1 ) ⋅ ( N − 1 ) ] {\displaystyle W={\begin{bmatrix}\omega _{n}^{0\cdot 0}&\omega _{n}^{0\cdot 1}&\ldots &\omega _{n}^{0\cdot (N-1)}\\\omega _{n}^{1\cdot 0}&\omega _{n}^{1\cdot 1}&\ldots &\omega _{n}^{1\cdot (N-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{n}^{(N-1)\cdot 0}&\omega _{n}^{(N-1)\cdot 1}&\ldots &\omega _{n}^{(N-1)\cdot (N-1)}\\\end{bmatrix}}} (注:これはユニタリ行列) f = [ f ( 0 , 0 ) f ( 1 , 0 ) … f ( M − 1 , 0 ) f ( 0 , 1 ) f ( 1 , 1 ) … f ( M − 1 , 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f ( 0 , N − 1 ) f ( 1 , N − 1 ) … f ( M − 1 , N − 1 ) ] {\displaystyle f={\begin{bmatrix}f(0,0)&f(1,0)&\ldots &f(M-1,0)\\f(0,1)&f(1,1)&\ldots &f(M-1,1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f(0,N-1)&f(1,N-1)&\ldots &f(M-1,N-1)\end{bmatrix}}}
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