2次元での変換とは? わかりやすく解説

2次元での変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/12 08:03 UTC 版)

離散フーリエ変換」の記事における「2次元での変換」の解説

デジタル画像処理では2次元変換画像周波数成分解析するのに使われる変換は以下のように定義される。 F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − 2 π i ( u x M + v y N ) {\displaystyle F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-2\pi i\left({\frac {ux}{M}}+{\frac {vy}{N}}\right)}} そして逆変換次のうになる。 f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e 2 π i ( u x M + v y N ) {\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{MN}}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{2\pi i\left({\frac {ux}{M}}+{\frac {vy}{N}}\right)}} 但し f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} は2次元信号(例え画像)であり、fのx列y行成分のことである。 F ( u , v ) {\displaystyle F(u,v)} は f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} の2次元周波数スペクトラムである。ここでuはx成分周波数、vはy成分周波数である。 2次元DFT行列用いて簡単に記述できる。 F = W f T W {\displaystyle F=Wf^{T}W} ここで F = [ F ( 0 , 0 ) F ( 1 , 0 ) … F ( M − 1 , 0 ) F ( 0 , 1 ) F ( 1 , 1 ) … F ( M − 1 , 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ F ( 0 , N − 1 ) F ( 1 , N − 1 ) … F ( M − 1 , N − 1 ) ] {\displaystyle F={\begin{bmatrix}F(0,0)&F(1,0)&\ldots &F(M-1,0)\\F(0,1)&F(1,1)&\ldots &F(M-1,1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(0,N-1)&F(1,N-1)&\ldots &F(M-1,N-1)\end{bmatrix}}} W = [ ω n 0 ⋅ 0 ω n 0 ⋅ 1 … ω n 0 ⋅ ( N − 1 ) ω n 1 ⋅ 0 ω n 1 ⋅ 1 … ω n 1 ⋅ ( N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ω n ( N − 1 ) ⋅ 0 ω n ( N − 1 ) ⋅ 1 … ω n ( N − 1 ) ⋅ ( N − 1 ) ] {\displaystyle W={\begin{bmatrix}\omega _{n}^{0\cdot 0}&\omega _{n}^{0\cdot 1}&\ldots &\omega _{n}^{0\cdot (N-1)}\\\omega _{n}^{1\cdot 0}&\omega _{n}^{1\cdot 1}&\ldots &\omega _{n}^{1\cdot (N-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{n}^{(N-1)\cdot 0}&\omega _{n}^{(N-1)\cdot 1}&\ldots &\omega _{n}^{(N-1)\cdot (N-1)}\\\end{bmatrix}}} (注:これはユニタリ行列) f = [ f ( 0 , 0 ) f ( 1 , 0 ) … f ( M − 1 , 0 ) f ( 0 , 1 ) f ( 1 , 1 ) … f ( M − 1 , 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f ( 0 , N − 1 ) f ( 1 , N − 1 ) … f ( M − 1 , N − 1 ) ] {\displaystyle f={\begin{bmatrix}f(0,0)&f(1,0)&\ldots &f(M-1,0)\\f(0,1)&f(1,1)&\ldots &f(M-1,1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f(0,N-1)&f(1,N-1)&\ldots &f(M-1,N-1)\end{bmatrix}}}

※この「2次元での変換」の解説は、「離散フーリエ変換」の解説の一部です。
「2次元での変換」を含む「離散フーリエ変換」の記事については、「離散フーリエ変換」の概要を参照ください。

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