2次元の回転行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/01 07:56 UTC 版)
2次元ユークリッド空間では、原点中心の θ 回転（反時計回りを正とする）の回転行列は、以下の形で表すことができる。 R ( θ ) = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}} なぜならば、原点中心に θ 回転して点 (x, y) が (x ', y ') に写るとすると、図形的考察または三角関数の加法定理より、x ', y ' は以下のように表されることが分かる。 x ′ = x cos θ − y sin θ {\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta } y ′ = x sin θ + y cos θ {\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta } このことを行列の積で表すと、 [ x ′ y ′ ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}} となるからである。 逆の回転は、回転角が −θ になるだけなので、 R ( − θ ) = [ cos ( − θ ) − sin ( − θ ) sin ( − θ ) cos ( − θ ) ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] {\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos(-\theta )&-\sin(-\theta )\\\sin(-\theta )&\cos(-\theta )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}} となる。 また回転行列には行列の指数関数を用いた表示 R ( θ ) = exp ( θ [ 0 − 1 1 0 ] ) {\displaystyle R(\theta )=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right)} もある。
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