2次元について
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/20 17:07 UTC 版)
2次元ではスカラー曲率はガウス曲率のちょうど二倍となる。 S = 2 ρ 1 ρ 2 {\displaystyle S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}} ここで ρ 1 , ρ 2 {\displaystyle \rho _{1},\,\rho _{2}} は表面の主曲率である。例として半径rの球面のスカラー曲率は 2 / r 2 {\displaystyle 2/r^{2}\,} に等しい。もっと一般的に、半径rのn次元表面のスカラー曲率は: n ( n − 1 ) / r 2 {\displaystyle n(n-1)/r^{2}\,} となる。 2次元のリーマンテンソルは1つの独立変数のみを持ち、それはスカラー曲率と計量を用いて表すことが出来る。任意の座標系でその1つは次のようになる。 2 R 1212 = S det ( g i j ) = S [ g 11 g 22 − ( g 12 ) 2 ] . {\displaystyle 2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}].}
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