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リーマン曲率テンソル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/08 07:29 UTC 版)

リーマン幾何学においてリーマン曲率テンソル（リーマンきょくりつテンソル、英: Riemann curvature tensor）あるいはリーマン-クリストッフェルのテンソル（英: Riemann–Christoffel tensor）とは、リーマン多様体の曲率を表す4階のテンソルを言う。名称は、ベルンハルト・リーマンおよびエルウィン・ブルーノ・クリストッフェルに因む。

脚注

^ なお、一般の r 階共変テンソル $S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}$ の共変微分に関するリッチの公式は以下
$\nabla _{k}\nabla _{j}S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}-\nabla _{j}\nabla _{k}S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=-\sum _{p=1}^{r}\sum _{a}R_{kji_{p}}{}^{a}S_{i_{1}i_{2}\cdots a\cdots i_{r}}$ （リッチの公式）
となる。
^ すなわち、リーマン曲率テンソルは「共変微分の非可換さ」を測るものである。
^ ただし、
$-\sum _{k,j,i,h}R_{kjih}u^{k}v^{j}u^{i}v^{h}$
が、互いに直交する単位ベクトル u^h と v^h の定める切口に関する断面曲率となるという意味でそのように呼ばれる。矢野(1971) p.206
以後、使い分けのため、リーマン-クリストッフェルのテンソルというときはこの4階共変テンソルを指すこととする。
^ 座標系（u^h）から座標系（x^h）へのクリストッフェル記号の座標変換公式
$\sum _{i}{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}}\left\{{{i} \atop {jk}}\right\}=\sum _{b,c}{\frac {\partial u^{b}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial u^{c}}{\partial x^{k}}}\left\{{\overline {{a} \atop {bc}}}\right\}+{\frac {\partial ^{2}u^{a}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}$
座標系（u^h）がクリストッフェル記号を全て1にする
$\left\{{\overline {{a} \atop {bc}}}\right\}=0$
とすれば、
${\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}}\left\{{{i} \atop {jk}}\right\}={\frac {\partial ^{2}u^{a}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}$
が得られる。