一般相対性理論的な重力場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:29 UTC 版)
一般相対性理論においては、重力とは時空の歪みであると考える。 時空の歪みは時空の計量 gμν によって表される。これは世界間隔 ds2 を時空の座標 xμ=(ct,x,y,z) を用いて表示する係数 d s 2 = g μ ν ( x ) d x μ d x ν {\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }} として定まる二階の対称テンソル場であり、四次元時空の場合10個の独立な成分を持つ。ただし gμν そのもの、あるいはその微分（クリストッフェル記号）は座標変換によりその値が変化し、特に一点で gμν がミンコフスキー計量に一致しクリストッフェル記号がすべてゼロであるような座標系が常に存在する（局所慣性系）。従って計量のうち時空の曲がりを記述するものはその二階微分であり、座標変換の自由度を除くと20成分存在する。この自由度はちょうどリーマン曲率テンソルにより記述されるものに等しい。従って、真の重力場が存在することはリーマンテンソルがゼロでないこととして特徴づけられる。この主張は物理的には潮汐力の存在と関係している。例えばミンコフスキー時空の場合リーマンテンソルの成分はすべてゼロである。逆にリーマンテンソルがゼロであるとき、その時空は（少なくとも局所的には）ミンコフスキーであり時空の歪みは存在しない。 重力場が弱く物質場が非相対論的であるときには世界間隔は d s 2 = − ( 1 + 2 ϕ c 2 ) c 2 d t 2 + ( 1 − 2 ϕ c 2 ) ( d x 2 + d y 2 + d z 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-\left(1+{\frac {2\phi }{c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2\phi }{c^{2}}}\right)(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})} と表され、計量はニュートン的な極限で重力ポテンシャルと関係している。 歪んだ時空の中での進み方は測地線の方程式 d 2 x μ d τ 2 + Γ ρ σ μ d x ρ d τ d x σ d τ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\rho \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\rho }}{d\tau }}{\frac {dx^{\sigma }}{d\tau }}=0} で記述される。Γ はクリストッフェル記号で、計量の微分によって書かれる。 重力場の力学方程式はアインシュタイン方程式 G μ ν + Λ g μ ν = κ T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }} である。これは計量 gμν に関する非線型二階双曲型偏微分方程式であり、適切な座標条件および初期条件のもとで計量の時間発展を記述する。 ゆがんだ時空中では、物体の軌跡や光線が曲がる。これは質量やエネルギーや運動量のつくる重力によって軌跡や光線が曲げられたとみなされ、時空のゆがみが重力場と解釈できる。[要出典]
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